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1、第二章 测量误差的基础知识& 测量误差及分类& 衡量精度的指标& 误差传播定律及其应用& 等精度直接观测值的最可靠值& 非等精度观测的未知量估值和精度估值一、测量误差及来源观测误差总是存在的，如fh = h测 h理 0内角和 180 D往 D返观测误差产生的原因(观测条件)：v仪器的不完善；v人感觉器官的局限性；v外界条件的影响本章的学习目的：了解误差产生的原因及规律；正确处理观测数据，评定观测质量；指导测量实践。2-1 测量误差及分类ABC二、观测误差的分类1.名词解释真值：某量客观存在的能代表其真正大小的数值X。观测值：对某量X进行观测所得的数值li。观测误差(真误差)：I = X - l
2、i未知量X的最优估值：观测值的改正数：2.观测误差的分类(1)系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。v例：钢尺的尺长误差；水准仪的i角误差等。措施：用计算方法加以改正；用一定的观测方法加以消除或削弱；检校仪器以限制误差的范围。(2)偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差出现的符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。v例：照准误差；读数误差；对中误差等。(3)过失误差(疏失误差 、粗差、错误)措施：多余观测。三、偶然误差的特性 1.偶然误差特性例1：射手打靶，结果显示：v 不命中的没有；v
3、 命中靶中间的机会多；v 命中左右边的机会几乎相等。例2：对三角形三内角进行了观测，设Li=ai+bi+ci，则iLi-180。96484839251794202012942101913852100.00.50.5 1.01.0 1.51.5 2.02.0 2.52.5 3.03.0以上总数负误差个数正误差个数误差所在区间”现观测了96个三角形，将其真误差的大小按一定的区间统计列表ABC偶然误差的特性：（1）误差超出一定限值的概率为零；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相等；（4）偶然误差的数学期望值等于零，即E()=0。 0一、精度的含义问
4、题1：个别误差的大小能否反映精度的高低？例：不同的两组观测对应着两条不同的误差分布曲线，如图。若12，那么第一组观测，误差分布密集，图形陡峭，精度较高；第二组观测，误差分布离散，图形平缓，精度较低。 0精度的含义：精度即误差分布密集与离散的程度。2-2 衡量精度的指标二、衡量精度的指标v1.平均误差在测量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度来说， 为了计算上的方便等原因，取一组真误差的绝对值的算术平均 值，作为徇这上组同精度观测值的指标，叫做平均误差，记为 。2.方差和中误差 表示随机变量分布离散性的数字特征是方差习惯用中误差表示当进行n次有限观测时一般真误差i不可求，我们只能根据子样观测值
5、l1、 l2ln来估计母体方差，在数理统计中采用样本方差作为母 体方差的估计量。白塞尔公式为小概率事件取容2m 或 容3m即令则3.极限误差 由概率论知4.相对误差问题2：中误差能否准确地衡量所有观测成果的精度？例：量距s1=200m,m1=0.2m；s2=2000m,m2=0.2m,问：丈量精度是否相同？看其单位长度上的中误差k2k1,第二段距离精度高于第一段距离相对误差：误差的绝对值与观测结果的比值，化为分子为1的分数形式表达。例：相对中误差同理，还有相对真误差、相对容许误差等。相对误差是无量纲的，而中误差、容许误差是有量纲的，称绝对误差。问题3：角度观测是否用相对误差表示？一、定律 误差
6、传播定律：描述观测值中误差与其函数的中误差之 间的关系。 例即2-3 误差传播定律及应用倍数函数观测值与某一常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘上该 常数 例：在1：500的地形图上，量得某两点的距离为s31.4mm，其中误差 m0.2mm，求该两点间实地距离S及其中误差ms。 解：S500*s500*31.415700mm15.7（m） ms500*m500*（0.2）100（mm）0.1（m） 所以，这两点间的实地距离为：S15.70.1m和差函数两观测值观测值 代数和的中误误差平方，等于两观测值观测值 中误误差的 平方之和。 例：在ABC中，已知A，B的 观测观测 中误误差分别为别为 m
7、A6”， mB8”，C180-A-B。试试求C的中误误差。 解：C180-A-B线性函数一组组常数与一组组独立观测值观测值 乘积积代数和的中误误差的平方，等 于各常数与相应观测值应观测值 乘积积的平方之和。例：设有线性函数式中的 中误差分别为 。求z的中误差。解： 一般函数设有观测值的函数y = f(x1,x2,xn) (1)式中，x1,x2,xn是相互独立的观测值，设1，2，n是相应的观测误差，m1,m2mn是相应的中误差。对(1)式求全微分用误差代替微分，则y = k11+k22+knn (2) 所以 D(y) = k12D(1)+k22D(2)+kn2D(N) 即my2 = k12m12
8、+k22m22+kn2mn2 (3)式中是函数对各自变量的偏导数，代入xi求得 ，令 特例：1.若则2.若则结论：一般函数中误差的平方等于该函数对每个独 立观测值所求的偏导数值与相应观测值中误差乘积的 平方之和。二.例题1.一个边长为l的正方形，若测量一边有ml=1cm,求周长的中 误差？若四边都测量，且测量精度相同，均为ml,则周长的中 误差又为多少？2.在o点观测了三个方向，得方向值l1 ,l2 ,l3 ,设各方向的中误差均为m,求m ,m ,m .3.P84【例】小结：(1).正确列出函数式(2).求全微分，得真误差线性函数式(3).检查误差是否独立(4).代入公式求函数的中误差 三、误
9、差分析的应用1.水准测量的误差分析(1) 一个测站的高差中误差h = a - b m站 = 2 m读代入考虑其它因素，取 m站 = 3mm （2）水准路线高差的中误差设每站的高差中误差均为m取3倍中误差为限差以每公里10站计 ，则路线长L公里取3倍中误差为限差规范取2.水平角观测的误差分析vDJ6经纬仪一方向一测回中误差为 6v用表示方向，m = 6 , 则半测回一方向中误差（1）半测回归零差的限差归零 = A - A 容 = 2m = 24（3）测回差的限差f = 24 （4）n个角代数和的中误差及其限差取测角中误差 m = 10 f容 = 34半 = L - Rf半 = 2 m半 = 34
10、 规范取 f半 = 40半 = a - b（2）半测回角值差的限差设对X 进行了n次等精度的独立观测，得观测值 l1,l2,ln。 一、X未知 1.算术平均值原理由偶然误差的第四特性2-4 等精度直接观测值的最可靠 值可证明算术平均值满足最优估值的三个条件：无偏性；一致性；有效性(方差最小)。 2.改正数特性用作计算检核。3.算术平均值中误差算术平均值： 则算术平均值 中误差为n 12346102050100mx107.15.85.04.13.22.21.41.0二、X已知（由真误差计算中误差 ）一般n取24。则三角形闭合差：wi=i - 180 ( i=1,2,n )应用：1.由三角形闭合差
11、计算测角中误差设等精度观测了n个三角形，内角和为 i，(i=1,2,n)，又因为 l1+l2+l3，若观测值的中误差为m，则2.用双观测列计算观测值中误差设对n个观测量Xi ( i=1,2,n ),各进行了两次等精度观测，得两组观测值li，li,其差值为di = li- li = i差值的中误差 (定义式)又因为 di = li - li设观测值的中误差为m，则例题：在水准点16点之间往返各测高差一次，各水准点之间的间距为1km，各双观测值如下表所列，求每公里测量一次的中误差和全长高差平均值的中误差。水准路线高差双观测值往测l 返测l d = l - l dd (mm) 12-0.185 -0
12、.188 +3 9 23+1.626 +1.6299 -3 9 34+1.435 +1.430 +5 25 45+0.505 +0.509 -4 16 56-0.007 -0.005 -2 4全长高差平均值的中误差解：n5 dd=63每公里测量一次的中误差全长5km测量一次高差的 中误差一段高差平均值的中误差最小二乘原理多余观测的目的：发现错误，提高成果精度。多余观测数r = n - t 式中n为实际观测数，t为必要观测数。多余观测的结果：观测值之间产生矛盾。【例】 对一个三角形三内角进行观测r = 3 - 2 = 1产生三角形闭合差 = a + b + c - 180 如何消除矛盾，求得未知
13、量的最优估计值？最小二乘原理设对n个量x1、x2、xn分别进行精度为1、2、n的观测，得观测值L1、L2、Ln，观测值子样来自不同的母体LiN（Xi,i）i= 1、2n,如何求Xi的最优估值？按最大似然法讨论Li的概率密度则L1、L2、Ln联合出现的概率密度为令L = max，即令代入即pvv = min等精度观测时，1= 2 = = n = 取 = 此时 vv = min在测量平差中，观测值的改正数满足pvv = min的平差原则，称最小二乘原理。条件平差【例】三角形内角应满足的条件（1）条件式化成标准形式：（2）设辅助函数 （3）式中2k是拉格朗日乘数，测量平差称k为联系数，分 别对v1，
14、v2，v3求偏导数，并令为零改正数方程代入条件式 解出联系数代入改正 数方程 改正后角值称平差角值2-5 非等精度观测的未知量估值和精度估值例：对一个求知量作两组等精度观测一、权与单位权 1.权 定义：设观测值Li的中误差为mi,则该观测值Li 的权定义为或显显然，而是即二、定权的常用方法1.等精度观测值代数和的权【例】水准路线高差的权2.单单位权权P = 1 称单单位权权； P = 1 相应应的观测值观测值 ，称单单位权观测值权观测值 ； P = 1 相应应的观测值观测值 中误误差，称单单位权观测值权观测值 中误误差。在中，若取则则同理2.等精度观测值算术平均值的权三、加权平均值及其中误差1.加权平均值2.加权平均值的中误差四、单位权中误差已知：L1=2.5kmL2=4kmL3=2kmHA=10.325 h1=5.436HB=12.786 h2=2.970HC=14.568 h3=1.204 求P点高程的加权平均值及其中误差五、【例】
