对数函数(7课时)

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1、2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对 数 问题提出1.截止到1999年底，我国人口约13亿 .如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过20年后，我国人口数最多 为多少（精确到亿）？到哪一年我国的 人口数将达到18亿？ 13 (11)x18，求x=?3.上面的实际问题归结为一个什么数 学问题？ 2.假设2006年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年的平均增长率为8% ，那 么经过多少年我国的国民生产总值是 2006年的2倍？ (18)x2，求x=?已知底数和幂的值，求指数. 知识探究（一）：对数的概念 思考1:若24M，则M？若22N，则N？ 思考2:若2x16，则x？ 若2x ,

2、则x？若4x8， 则x？ 若2x3， 则x？ 思考3:满足2x3的x的值，我们用log23 表示，即xlog23，并叫做“以2为底3的 对数”.那么满足2x16，2x ，4x8 的x的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果axN（a0，且a1） ，那么数x叫做什么？怎样表示？ xlogaN思考6: 满足 , ， （ 其中e=2.7182818459045）的x的值可 分别怎样表示？这样的对数有什么特殊 名称？思考5:前面问题中， , 中的x的值可分别怎样表示？思考1:当a0，且a1时，若axN，则x logaN，反之成立吗？ 思考2:在指数式axN和对数式xlogaN 中，a，x，N各自的地

3、位有什么不同？ 知识探究（二）：对数与指数的关系 a N x 指数式axN 指数的底数 幂幂 幂幂指数 对对数式x logaN 对对数的底数 真数 对对数 思考3:当a0，且a1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa（ a0，a1）的值分别是多少？ 思考5:若axN，则xlogaN ，二者组 合可得什么等式？ 理论迁移例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) 54625 ; (2) 26 ; (3) ( )m5.73 ; (4) ; (5) lg0.01=; (6) ln102.303.例2.求下列

4、各式中的值： (1)log64x ; (2) logx86 ; (3)lg100=x; (4)lne2 .作业：P练习: 1,.P习题2.A组：1,.第二课时 对数的运算2.2.1 对数与对数运算 问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？ 2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？ 知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232log24十log28推广到一 般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？思考3:如果a0，且a1，M0，N0

5、， 你能证明等式loga（MN）logaM十 logaN成立吗？思考4:将log232log24=log28推广到一 般情形有什么结论？怎样证明？ 思考5:若a0，且a1，M1，M2，Mn均大于0，则loga(M1M2M3Mn）？ 知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形 有什么结论？ 思考3:如果a0，且a1，M0，你有什 么方法证明等式logaMnnlogaM成立 思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立 吗？思考6:上述关于对数运算的三个基本性 质如何用文字语言描述？思考5:如果a0，且a1，M0，

6、则等于什么？两数积的对数，等于各数的对数的和； 两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数理论迁移例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式：(1) ; (2) . 例2 求下列各式的值： (1) log2（4725）； (2) lg ；(3) log318 -log32 ；(4) .例3 计算： 小结作业: 性质的等号左端是乘积的对数，右端是 对数的和，从左往右看是个降级运算. 性质的等号左端是商的对数，右端是对 数的差，从左往右是一个降级运算，从右 往左是一个升级运算. 性质从左往右仍然是降级运算 利用对数的性质可以使两正数的积、 商的对

7、数转化为两正数的各自的对数的和 、差运算，大大的方便了对数式的化简和 求值.作业： P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.2.2.1 对数与对数运算 第三课时 换底公式及对数运算的应用 问题提出.（1） （2） （3）（1） ; （2） ; （3） .1.对数运算有哪三条基本性质？2.对数运算有哪三个常用结论？3.同底数的两个对数可以进行加、减 运算，可以进行乘、除运算吗？ 4.由 得 ，但这只是一种表示，如何求得x的值？ 知识探究（一）：对数的换底公式 思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？ 思考1:假设 ，则，从而有 . 进一步可得到什么结论？ 思考4:我们

8、把 （a0，且a1；c0，且c1；b0） 叫做对数换底公式，该公式有什么特征 ？思考3:一般地，如果a0，且a1；c0，且c1；b0，那么 与哪个对 数相等？如何证明这个结论？ 思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？ 思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求 的值？ 知识探究（二）：换底公式的变式 思考1: 与 有什么关系？ 思考2: 与 有什么关系？ 思考3: 可变形为什么？ 理论迁移例1 计算： (1) ; (2)（log2125log425log85)（log52log254log1258）作业： P68 练习：4. P74 习题2.2A组： 6，11，1

9、2.2.2.1 对数与对数运算 第四课时 对数运算习题课 知识回顾.1.指数与对数的换算:2.对数运算的三个常用结论:3.对数运算的三条基本性质:4.对数换底公式:理论迁移 例1 求下列各式的值:2-21例2 已知 ，求 的值.例3 设 ，已知 , 求 的值.例4 20世纪30年代，里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪 衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们 常说的里氏震级M，其计算公式为MlgA lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差） . （1

10、）假设在一次地震中，一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此 时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级（精确到0.1）；4.320世纪30年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记 录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说 的里氏震级M，其计算公式为MlgAlgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准 地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测 震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的多少倍（精确到1）.398例5

11、 生物机体内碳14的“半衰期” 为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始含量的 76.7，试推算马王堆古墓的年代.2193思考题:设函数已知 且对一切恒成立，求 的最小值.2.2.2 对数函数及其性质第一课时 对数函数的概念与图象 问题提出1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的 衣服，若每次能洗去污垢的四分之三， 试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式. 2. （x0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？知识探究（一）：对数函数的概念 思考1:在上面的问题中，若要使残留的 污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 思考2:在关系式 中，取 对应的y的值存在吗？怎样计算？ 思考3:函数

12、 称为对数函数，一般地，什么叫对数函数？ 思考4:为什么在对数函数中要求a0， 且al？ 思考5:对数函数的定义域、值域分别是 什么？思考6:函数 与 相同吗？ 为什么？ 思考1:研究对数函数的基本特性应先研 究其图象.你有什么方法作对数函数的图 象？知识探究（二）：对数函数的图象 思考2:设点P(m，n)为对数函数 图象上任意一点，则 ，从而有 .由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图 象上？思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数 的图象有怎样 的位置关系？ PQxyo思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ yx011

13、xy011思考5:函数 与 的图象分别如何？ a100,a1);（4）log75，log67.理论迁移例2 求下列函数的定义域、值域： (1) y ； (2) ylog2(x22x5). 例3 溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH 的计算公式为pHlgH+，其中 H+表示溶液中氢离子的浓度，单位 是摩尔升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢 离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+ 107摩尔升，计算纯净水的pH.作业：P73 练习：3P74 习题2.2B组：1， 2，3.第三课时 指、对数函数与反函数 2.2.2

14、对数函数及其性质问题提出设a0，且a1为常数， .若以 t为自变量可得指数函数yax，若以s 为自变量可得对数函数ylogax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释？知识探究（一）：反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直 线运动，分别以位移s和时间t为自变量 ，可以得到哪两个函数？这两个函数相 同吗？ 思考2:设 ，分别x、y为自变量可以 得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 思考3:我们把具有上述特征的两个函数 互称为反函数，那么函数yax（a0， 且a1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？ 思考4:在函数yx2中，若将y作自变量 ，那么x与y的对应关系是函数吗？为什 么？