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1、第 1 章 信号与系统的基本概念 第1章 信号与系统的基本概念 1.0 信号与系统 1.1 信号的描述和分类 1.2 信号的基本特性 1.3 信号的基本运算 1.4 阶跃信号和冲激信号 1.5 系统的描述 1.6 系统的特性和分类 1.7 信号与系统的分析方法 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.0 信 号 与 系 统图 1.0-1 激励、系统与响应 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.0-2 无线电广播系统的组成 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的描述和分类1.1.1 信号的描述信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。在数学上，可以描述为一个或多个
2、独立变量的函数。例如，在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；在气象观测中，由探空气球携带仪器测量得到的温度、 气压等数据信号，可看成是随海拔高度h变化的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x, y)的函数，等等。 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.1.2 信号的分类 1. 确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机
3、信号。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-1 噪声和干扰信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 连续信号与离散信号 一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。 这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。图1.1-2(a)是正弦信号，其表达式为 式中，A是常数。其自变量t在定义域(-, )内连续变化，信号在值域-A, A上连续取值。为了简便起见，若信号表达式中的定义域为(-, )时，则可省去不写。 也就是说，凡没有标明时间区间时，
4、 均默认其定义域为(-， )。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-2 连续信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.1-2(b)是单位阶跃信号， 通常记为(t)，其表达式为 图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号， 其表达式为 式中，A是常数，0。信号变量t在定义域(-, )内连续变化，信号f3(t)在值域0， A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。 第 1 章 信号与系统的基本概念 对于间断点处的信号值一般不作定义，这样做不会影响分析结果。如有必要， 也可按高等数学规定，定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的
5、算术平均值， 即 第 1 章 信号与系统的基本概念 这样，图1.1-2中的信号f2(t)和f3(t)也可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续 的， 也可以是不连续的。 定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列， 通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，
6、图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-3 离散信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 随k的变化，序列值在值域-A, A上连续取值。对于图 1.1-3(b)所示的序列则可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号 (如图1.1- 2(a)；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号 (如图1.1-3(a)；而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号 (如图1.1-3(c)。 为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f()， 表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用
7、f()统一表示连续信号和离散信号。 第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有 f(t)=f(t+mT) m=0, 1, 2, 则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。 一个离散信号f(k)，若对所有k均有 f(k)=f(k+mN) m=0, 1, 2, (1.1-7)就称f(k)为离散周期信号或周期序列。满足式(1.1- 7)的最小N值称为f(k)的周期。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.1-4 周期信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其周期。
8、 (1) f1(t)=sin 2t+cos 3t(2) f2(t)=cos 2t+sint解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公倍数，则它们的和信号 f(t)=x(t)+y(t)仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。 第 1 章 信号与系统的基本概念 (1) 因为sin 2t是一个周期信号，其角频率1和周期T1为 (2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sint的周期分别为 第 1 章 信号与系统的基本概念 4. 能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区
9、间内会消耗一定的能量。 把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。现在将时间区间无限扩展， 定义信号f(t)的能量E为 第 1 章 信号与系统的基本概念 如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率P=0)， 就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量E=)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号 离散信号f(k)的能量定义为第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3 信号的基本运算 1.3.1 相加和相乘两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号
10、值等于两信号在该时刻的信号值之积。 设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-1 连续信号的相加和相乘第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-2 离散信号的相加和相乘第 1 章 信号与系统的基本概念 1.3.2 翻转、平移和展缩(重点） 将信号f(t)(或f(k)的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一个信号f(-t)(或f(-k)， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意义是将
11、自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯， 自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-3 信号的翻转 (a) f(t)的翻转； (b) f(k)的翻转 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-4 信号的平移 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.3-5 连续信号的波形展缩 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.3-1 已知信号f(
12、t)的波形如图1.3-6(a)所示，试画出f(1-2t)的波形。 图 1.3-6 例1.3-1用图之一 第 1 章 信号与系统的基本概念 解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号f(at+b)(a0)的波形可以通过对信号f(t)波形的平移、翻转(若a时为常数1。在区间(0，)内直线上升，其斜率为1/。 第 1 章 信号与系统的基本概念 随减小，区间(0，)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。 当0时， 函数(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大， 定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号， 用(t)表示， 即 第 1 章 信号与系统的基本概念 单位阶跃信号时移t0后可表
13、示为 注意： 信号(t)在t=0处和(t-t0)在t=t0处都是不连续的。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-2 单边信号和区间分段信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 图1.4-2(a)和(b)所示的单边信号f1(t)和f2(t)： 可分别表示为第 1 章 信号与系统的基本概念 而图1.4-2(c)所示的区间分段信号f3(t)为 可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3(t)表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.2 连续时间冲激信号 当0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大， 而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号， 简称单位冲激信号或函数，用(
14、t)表示，即 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-3 单位冲激信号 第 1 章 信号与系统的基本概念 函数的另一种定义是： 定义表明函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。 第 1 章 信号与系统的基本概念 (高斯函数序列 ）(取样函数序列) (双边指数函数序列) 第 1 章 信号与系统的基本概念 1.4.3 广义函数和函数性质作为常规函数，在间断点处的导数是不存在的。除间断点外， 自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。信号(t)和(t)已经超出了常规函数的范畴， 故对这类函数的定义和运算都不能按通常的意义去理解。人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。 第 1 章 信号与
15、系统的基本概念 1. 广义函数的基本概念如果把普通函数y=f(t)看成是对定义域中的每个自变量t， 按一定的运算规则f指定一个数值y的过程，那么，可以把广义函数g(t)理解为是对试验函数集(t)中的每个函数(t)，按一定运算规则Ng分配(或指定)一个数值Ng(t)的过程。 广义函数g(t)的定义为 第 1 章 信号与系统的基本概念 表 1.1 广义函数与普通函数的对应关系 第 1 章 信号与系统的基本概念 广义函数的基本运算包括： （1）相等若则定义（2）相加若第 1 章 信号与系统的基本概念 (3) 尺度变换第 1 章 信号与系统的基本概念 2. 函数的广义函数定义 按广义函数理论，函数定义
16、为 当0时，在(0, )区间上，(t)(0)，故有 第 1 章 信号与系统的基本概念 3. 函数的性质(重点) 性质1 函数的微分和积分 式中，(0)是(t)的一阶导数在t=0时的值。通常称(t)为单位冲激偶， 用图1.4-4所示的图形符号表示。 第 1 章 信号与系统的基本概念 图 1.4-4 单位冲激偶(t) 第 1 章 信号与系统的基本概念 同理，由广义函数的微分运算定义，并考虑到()=0，单位阶跃信号(t)的导数可表示为 第 1 章 信号与系统的基本概念 第 1 章 信号与系统的基本概念 性质2 函数与普通函数f(t)相乘若将普通函数f(t)与广义函数(t)的乘积看成是新的广义函数， 则按广义函数定义和函数的筛选性质， 有 第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义，得到 第 1 章 信号与系统的基本概念
