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1、球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？.ra球与多面体的内切、外接如果一个多面体的各个顶点都在同一个 球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.一、直接法变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体 积为 .1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的
2、顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为 .2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且 一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球 的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体 体对角线长为 ，故球的表面积为 .变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. C二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个 。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面
3、体是这个球的外切多面体，这个球是这个 。一、球体的体积与表面积多面体的外接球 多面体的内切球棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。图3图4图5中截面设棱长为1球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )A. 1:2:3 B. C. D.球与棱柱的组合体问题ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。.球内切于正方体的棱设棱长为1ABCDD1C1A1OB1对角面球的内接正方体的对角线等于球直径。球外接于正方体设棱长为1ACBPO二、构造法 1、构造正
4、方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长 均为 ，则其外接球的表面积是 _ ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径l、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则 此球的表面积为（ ） A. B. C. D. A2、在等腰梯形ABCD中， E为AB的中点，将 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）图3C2、构造长方体变2.已知三棱锥三条侧棱PA,PB,PC两两 垂直,PA=1,PB=2,PC=3,求这个三棱锥外 接球的半径例7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面 ，已知该六棱柱的顶点都在同一个
5、球面上，且该六棱 柱的体积为 ，底面周长为，则这个球的体积为 _解 ： 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .外接球的半径小结 本题是运用公式 求球的半径的， 该公式是求球的半径的常用公式.三、确定球心位置法练习7六、寻求轴截面圆半径法正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长 都为 ，点S,A,B,C,D都在同一球面上， 则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球 心为O，如图3所示.由球的截面的性质， 可得 又 ，球心O必在 所在的直线上 . 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外 接圆的半径就是外接球的半径. 在 中，由是外接圆
6、的半径，也是外 接球的半径.故几何体的内切球 正四面体的棱长为a，则其内切球和外 接球的半径是多少？ 图1解：如图1所示，设点o是内切球的球心 ，正四面体棱长为a由图形的对称性 知，点o也是外接球的球心设内切球 半径为r，外接球半径为R 正四面体的表面积 正四面体的体积 在 中， 即 ， 得 得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外 接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点， 即内切球的半径为 (h 为正四面体的高)，且外接球的 半径 ，从而可以通过截面图中 建立棱长与半径之 间的关系。(1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心 (2)求多面体内切球半径，往往可用“
7、等体积法”(3)正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 . (4)并非所有多面体都有内切球(或外接球)球的旋转定义：1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。2.半圆面以它的 直径所在的直线 为轴旋转所成的 几何体叫做球体。 (球是旋转体 )3.注意：球面和球体的区别： 球面仅仅是指球的表面， 而球体不仅包括球的表面， 而且还包括球面所围成的几何空间。球心球的半径球的直径球的性质球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心A2、球心和截面圆心的连线垂直于截面OABCDdrR3、球心到截面的距离与 球的半径R及截面的半径 的关系：性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去 截球面， 截线是圆。 大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心球的内切、外接问题5、体积分割是求内切球半径的通用做法。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
