《《概率论与数理统计》课件之13》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率论与数理统计》课件之13（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 随机变量的数字特征分布函数能完整地描述随机变量的统 计特性, 但实际应用中, 有时并不需要知道 分布函数而只需知道随机变量的某些特征.判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度例如：1考察一射手的水平, 既要看他的平均 环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否 小, 即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的 某些数值，虽不能完整地描述随机变量， 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都 具有重要意义.2q r.v.的平均取值 数学期望q r.v.取值平均偏离平均值
2、的情况 方差 q 描述两个 r.v.之间的某种关系的数 协方差与相关系数本 章 内 容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写34.1随机变量的数学期望加 权 平 均初 赛复 赛决 赛总 成 绩算术 平均甲 乙90 85 53 228 76 88 80 57 225 75胜者 甲 甲 乙 甲 甲3:3:4 2:3:5 2:2:673.7 70.0 66.873.2 70.1 67.8甲 乙 乙引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负4.1 4为这 3 个数字的加权平均称数学期望的概念源于此5设 X 为离散 r.v. 其分布为若无穷级数其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即数学期望的
3、定义定义绝对收敛, 则称6设连续 r.v. X 的 d.f. 为若广义积分则称此积分为 X 的数学期望;记作 E( X ), 即数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是 r.v.定义绝对收敛,7例1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y) 例18例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解例3 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).解例29常见 r.v. 的数学期望（P159）分布期望概率分布参数为p 的 0-1分布pB(n,p)npP()10分布期望概率密度区间(a,b)上的 均匀分布E()N(, 2)
4、11注意 不是所有的 r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!12q 设离散 r.v. X 的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则q 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x)绝对收敛, 则若广义积分r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望13q 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为Z = g(X ,Y ),绝对收敛 , 则若级数14q 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则若广义积分15例3 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求的数学期望.解
5、例316解 (1) 设整机寿命为 N ,五个独立元件,寿命分别为 都服从参数为 的指数分布，若将它们(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6）例4例417即 N E( 5), (2) 设整机寿命为 18可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.19q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) q 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质常数期望性质性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立注20例6 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为X P0 1 2 3例621解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4Xi P1 022例7 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y)解 例723由数学期望性质X ,Y 独立24
