线性二次型最优控制问题.ppt

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1、第六章 线性二次型最优控制问题6.1 线性二次型最优控制问题的提法 6.2 有限时间的状态调节器问题 6.3 无限时间的状态调节器问题 6.4 输出调节器问题 6.5 跟 踪 问 题 *6.6 具有指定稳定度的最优调节器问题 * 6.7 在阶跃干扰作用下的状态调节器问题 * 6.8 带有观测器的最优调节器问题Date1线性二次型最优控制问题线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型二次型 性能指标性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：性能指标具有鲜明的物理意义性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律最优控制规律是状态变量的反馈形式状态变量的反馈

2、形式 ，便于计算和工程实现。 可以兼顾系统性能指标的多方面因素可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。 线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果最富有成果的一部分 。 Date26.1 线性二次型最优控制问题的提法 问题6.1.1 给定线性时变系统的状态方程和输出方程 其中，X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，Y(t)是l维输 出变量，

3、A(t)是nn时变矩阵，B(t)是nm时变矩阵。假设 1lmn，U(t)不受约束。若Yr(t)表示预期输出变量，它是l维 向量，则有 e(t)= Yr(t)Y(t) 称为误差向量。现在的问题是， 选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标(6.1.2)（6.1.1）Date3为最小，这就是线性二次型最优控制问题。其中S是ll半正定 对称常数矩阵，Q(t)是ll半正定对称时变矩阵，R(t)是mm正 定对称时变矩阵，终端时间tf是固定的，终端状态X(tf)自由。性能指标（6.1.2）的物理意义 式（6.1.2）中的第一部分称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证终端状 态X(tf)具有

4、适当的准确性。式（6.1.2）中的第二部分称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系Date4统响应具有适当的快速性。式（6.1.2）中的第三部分 称作控制代价，用它来限制控制U(t)的幅值及平滑性，以 保证系统安全运行。同时，它对限制控制过程的能源消耗 也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性。说明：（1）二次型性能指标是一种综合型性能指标。它可以兼顾 终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性 及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题（6.1.1）、 （6.1.2）的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出 误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。 D

5、ate5（2 2）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾）在这些不同目标之间，往往存在着一定矛盾。例如，为 能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及 较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然 会影响系统的快速性和终端准确性。如何对这些相互冲突的 因素进行合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。（3 3）性能指标由三项组成，若各项出现不同符号，将发生相）性能指标由三项组成，若各项出现不同符号，将发生相 互抵消的现象互抵消的现象。这样，尽管各项单独的数值较大，但J的数值 可能很小，性能指标就无法反映各项指标的优劣。为防止出 现这种情况，应保证在各种实际运行情况下，无论容许

6、控制无论容许控制 如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号。又 因是以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符 号均取正值。（4）控制时间的起点控制时间的起点t t0 0及终点及终点t tf f，可能是由实际问题决定的客观可能是由实际问题决定的客观 参数，也可能是由设计者决定的主观参数参数，也可能是由设计者决定的主观参数。对后者而言，设 计者必须把希望达到的目标和t0 、 tf的选择联系起来。Date6课前预习和讨论1、已经学过的最优控制问题的求解方法有哪些？它们之 间有何联系和区别？ 2、什么样的最优控制问题称为线性二次型最优控制

7、线性二次型最优控制？ 3、线性二次型最优控制问题有何特点有何特点？ 4、你认为问题6.1.1所描述的线性二次型最优控制问题应该用什么方法求解用什么方法求解? ? 为什么？ 5、目标泛函中的各项目标泛函中的各项反映了什么样的控制要求和性能反映了什么样的控制要求和性能？ 请具体说明！ 6、目标泛函中的目标泛函中的加权矩阵S，Q(t)和R(t)意味着什么 ？ 7、你认为二次型最优控制问题的难点在哪儿难点在哪儿？Date7上式所示的性能指标中加权矩阵S，Q(t)和R(t)（1 1）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影）加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影 响系统的工作品质。响系

8、统的工作品质。例如，提高S阵中某一元素的比重，说明 更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t)阵 中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好 的快速响应特性；而提高R R( (t t) )阵阵中某一元素的比重中某一元素的比重，意味着需意味着需 要更有效地要更有效地抑制抑制与之与之相应的控制分量的幅值相应的控制分量的幅值及由它引起的及由它引起的能能 量消耗。量消耗。这只是大致趋势，实际情况十分复杂。因此，如何 安排各加权阵的各个元素之间的关系，乃是一件十分重要而 又十分困难的工作 。（2 2）将）将S S阵取为半正定，以便保证终端代价的非负性，但容阵取为半正定，以便保证终

9、端代价的非负性，但容 许在许在e e( (t tf f) )不为零时的终端代价为零，这相当于不考虑与之相不为零时的终端代价为零，这相当于不考虑与之相 应的终端误差应的终端误差。出于同样理由，Q(t)亦取半正定。但R(t)必须 取正定，这是因为控制代价实际上可以反映控制过程的能量 Date8消耗，而UT(t)R(t)U(t) 则反映各瞬间的控制功率各瞬间的控制功率，只要U(t) 不为零，控制功率当然就不应等于零控制功率当然就不应等于零。（3 3）由于终端代价只表示终端时刻）由于终端代价只表示终端时刻t tf f时的性能，因此，时的性能，因此， S S 应为常数阵。应为常数阵。至于Q(t)及R(t

10、)，可能取为常数阵，也可能取 为时变阵。后者是为了适应控制过程的特殊需要适应控制过程的特殊需要。例如， 在控制过程的初期出现的较大误差，并非系统品质不佳所 致，而是由系统的初始条件引起的，因此，不必过分重视 这种误差，以免引起控制作用U(t)不必要的过大冲击，但控 制过程的后期的误差直接与控制效果相关，必须给予足够 的重视。只有把Q(t)和R(t)取为时变阵，才能适应控制过程 的这类时变需求。有时，为了防止模型的失调，也需要Q(t) 及R(t)具有时变性质。Date9对容许控制对容许控制U U( (t t) )和终态和终态X X( (t tf f) )的说明的说明（1 1） 在线性二次型问题的

11、定义中，并没有直接提出对控制在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用作用U U( (t t) )的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U U( (t t) )进行必要的限制。进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质线性性质的前提下，实实 现对现对U U( (t t) )的限制。的限制。（2 2）在定义问题时，也没有直接提出对终态）在定义问题时，也没有直接提出对终态X X( (t tf f) )的要求。的要求。 实际上，对终态

12、的要求，是利用性能指标的终端代价来反 映的，性能指标中的终端代价用于限制终端误差，它表明 期望终态期望终态X X( (t tf f) )尽量靠近误差信号尽量靠近误差信号e e( (t t)=0)=0所对应的状态所对应的状态。Date10若C(t)=I（单位矩阵），Yr(t)=0，则 于是性能指标（6.1.2）变为 这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持 在零值附近，因而称为状态调节器问题。线性二次型最优控制问题的几种特殊情况线性二次型最优控制问题的几种特殊情况状态调节器问题Date11若Yr=0，则于是性能指标（6.1.2）变为这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统输出Y(

13、t)保持在零值附近， 故称为输出调节器问题。输出调节器问题Date12若Yr(t)0，则 于是性能指标（6.1.2）可写为 这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧 紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。 跟踪问题Date136.2 有限时间的状态调节器问题问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件其中X(t)是n维状态变量，U(t)是m维控制变量，A是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是 其中Q是nn非负定、对称的常数矩阵，R是mm正定 、对称的常数矩阵，t tf f是给定的终端时刻是给定的终端时刻，X X( (t tf f) )是自由是自由 的终端状态的终端

14、状态，控制函数控制函数U U( (t t) )不受约束不受约束。（6.2.1）（6.2.2）Date14现在的问题是，要求确定最优控制函数最优控制函数U U* *( (t t) )，使性能指标（性能指标（6.2.26.2.2）达到最小值）达到最小值。这样的最 优控制问题是以较小的控制能量为代价，使状 态变量X(t)保持在零值附近，故称为状态调节状态调节 器问题。器问题。又考虑到终端时间tf是有限的，故称为有限有限 时间的状态调节器问题时间的状态调节器问题。相应的最优控制U*(t) 称为最优调节作用或最优调节器。Date15下面应用最小值原理最小值原理来求解这个问题。解： 构造Hamilton函

15、数 因为控制函数U(t)本身不受约束，所以有 （6.2.3）Date16式（6.2.3）表明，最优调节作用是协态变量优调节作用是协态变量 ( (t t) )的线性函数的线性函数。 但是，由于协态变量在实际系统中是不存在的，自然也无法 检测到。因此式（6.2.3）的最优调节作用在工程上是难以实 现的。为了便于在工程上实现，需将调节作用U(t)表示成系统 状态变量X(t)的函数。令： 其中P(t)是nn待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得 规范方程 为：Date17由于X(t)是任意的，所以有由于终端状态X(tf)是自由的，故相应的协态变量的终端值为 所以，矩阵黎卡提矩阵黎卡提( (Riccati

16、Riccati) )微分方程微分方程矩阵黎卡提矩阵黎卡提( (RiccatiRiccati) )微分方程微分方程 的边界条件的边界条件（6.2.4）Date18P P( (t t) )的的3 3个重要性质个重要性质 由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明 P(t)存在而且唯一。 对于任意的tt0，tf， P(t)均为对称阵，即P(t)PT(t) 若R是正定矩阵，Q是半正定矩阵，则P(t)（t0ttf ）是半正定矩阵；若R是正定矩阵， Q是正定矩阵 ，则P(t)（t0ttf）是正定矩阵。 证明略。Date19命题6.2.1 问题6.2.1的最优调节作用必为如下形式 的状态反馈其中P(t)是矩阵黎卡提微分方程 满足边界条件 的对称解。并且状态最优轨线X*(t)是状态方程 Date20满足初始条件 的解。若令 ，则有其中K(t)称为反馈增益矩阵。这样就构成了一个状态 反馈最优