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1、第五章 频率响应法5.1 频率特性5.2 典型环节的频率特性5.3 控制系统的频率特性5.4 奈奎斯特稳定判据5.5 稳定裕量5.6 闭环频率特性5.7 频率特性分析1 频率法的思路是：建立频率特性 作为一种数模 相应的系统分析方 法 频率指标 利用与时域指标的对应关系 转 换成时域指标2 频率法的特点：(1) 应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究 闭环稳定性，而不必解特征方程的根；(2) 系统的频率特性可用实验方法测出；(3) 用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程 度；(4) 频率法可用某些非线性系统。5-1 频率特性例：RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint 时
2、，c(t)的稳态输出为多少？ 5.1.1 5.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念解： RC电路的微分方程为 式中，T=RC。网络的传函为：RCr(t) c(t)1 频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态 输出与输入复数符号之比对频率的关系特性用G(j) 表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变同频，变幅，相移。，相移。 2 幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A() 表示 。A() = G(j)3 相频特性：稳态输出与输入相位差，用 ()表示。()= G(j)4 实频特性： G(j) 的实部，用Re ()表示。 5 虚频特性： G(j) 的虚部，用Im ()
3、表示。5.1.2 5.1.2 定义定义特点是：把频率 看成 参变量，当从0时，将 幅频特性和相频特性表示在 同一个复数平面上。前面讨 论的RC电路的极坐标图。5.1.3 5.1.3 几何表示几何表示1. 极坐标图（幅相频率特性曲线）=1= =0Im Re 02. 伯德图（对数频率特性曲线）包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。横坐标 表示频率 ，按对数分度，单位是rad/s 。G(j )10 lg 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101横轴按频率的对数lg标尺刻度，但标出的是频率本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了
4、高频段，扩展了低频段。 在轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如 从1到2，2到4，3到6，10到20等的范围都是一倍频程 ；=1=10 2345 6 7 8 9每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如 从1到10，2到 20 ，10到100等的范围都是十倍频程 ；所有的十倍频程 在轴上对应的长度都相等。203040对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的 函数值，均匀分度，单位是dB(分贝)。L() = 20lgA() 相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀 分度，单位是度。() =G(j) L()/dB()/( )90902020 (rad/s) (rad/s)1 2 3 4
5、 5 6 10 20 30 1001 2 3 4 5 6 10 20 30 100下图是 RC网络G(j) =1/(1+ j)，T = 0.5时对应的伯德图。 L()/dB020 2-20dB/dec-90()/()0-90()/()05-2 典型环节的频率特性 w 1 .比例环节其传递函数为 G(s) = K频率特性为 G(j ) = K （1）极坐标图A( ) = K () = 0 （2）伯德图 L( ) = 20lgK () = 0ImRe0K20lgKL()/dB020() = 0（2）伯德图L() = 20lgA() = 20lg () = 90ImRe0=0=（1）极坐标图() =
6、 9090()/()020dB/decL()/dB020110w 2 积分环 节频率特 性 w3 微分环节频率特性 G(j) = j （1）极坐标图A() = () = 90 （2）伯德图L() = 20lgA() = 20lg () = 90由于微分环节与积 分环节的传递函数互为 倒数， L()和 () 仅 相差一个符号。因此， 伯德图是对称于轴的 。ImRe0=0=90()/()0L()/dB02010120dB/decw4 惯性环节频率特性为 （1）极坐标图实部与虚部表达式为：其模角表达式为：Im Re0=01（2）伯德图对数幅频特性 因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近 似表
7、示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于T = 1或 =1/T。频率1/T 称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/TL()1当 1/T时，L() 20lg1 = 0 20dB/dec2当 1/T时，L() 20lgT用渐近线近似表示L()，必然存在误差L() L()可按以下公式计算：L() = L() La() 式中，L()表示准确值，La()表示近似值，有如图可见，交接频率的地方误差最大，约3dB。0.1/T 1/T 2/T 4/T 8/T 10/T0dB1dB2dB3dB4dB相频特性为：() = arctanT T = 0 () = 0 T = 0.3 () = 16.7 T = 0.8
8、() = 38.7 L()/dB0201/T20dB/dec90()/()0T = 1 () = 45 T () = 90w5 一阶微分环节频率特性 G(j) = 1 + jT （1）极坐标图（2)伯德图幅频特性 相频特性为为 ()=arctanT 幅频特性为为相频特性 ()=arctanT ImRe0=0=90()/()0L()/dB0201/T20dB/dec(1) 极坐标图幅频特性为相频频特性为根据零-极点分布图绘制极坐标图6 振荡环节频率特性为1 ABPj2 G(j0)=10 G(jn )=1/2 90 G(j)=0180 00ReIm1 =0 值小 值大n可以看出： 1） 0.707
9、，没有峰值，A()单调衰减；2） = 0.707， Mr = 1，r = 0，这正是幅频特性曲线的 初始点；3） 1， r 0，幅频A()出现峰值。而 且 越小，峰值Mr 及谐振频率r 越高；由图可见，幅频特性的最大值随 减小而增大其值可 能大于1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一 频率 =r（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰值Mr 。 在产生谐振峰值处，必有 根据上式可以作出两条渐近线。 当 n时，L() 20lg2 / n2 = 40lg / n 。4） = 0，峰值Mr 趋于无穷，谐振频率r 趋于n 。这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，引 起环节的共振。环节处于临界稳定
10、的状态。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比 小，这 和时域分析法一章所得结论是一致的。 （2）伯德图幅频特性L()误误差计计算公式是： n 40dB/dec这是一条斜率为 40dB/dec直线，和零分贝线交于 = n的地方。故振荡环节的交接频率为n 。下图为L(, ) 的曲线0.1 0.2 0.4 1 2 4 6 8 10 / n201612840-4-8 = 0.05 =10.10.20.3 0.40.50.6 0.8相频特性 = 0 (0) = 0 = n ( n) = 90 () = 180由于系统阻尼比取值不同，( )在 = n邻域的角
11、度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。ImRe0=01=7 二阶微分环节其频率为特性 由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。极坐标图为：由于( )随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性ImRe0大()/() 0L()/dB0小=08 延迟环节其频率特性为 ：G(j) = e jT 幅值为：A() = e jT = 1 相角为：() = (rad) = 57.3()由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。5.3 控制系统的频率特性5.3.1 开环极坐标图1. 1. 用幅频特性和相频特性计算做图用幅频特性和相频特性计
12、算做图设开环频率特性为：式中分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。解: RC超前网络的传函为() = 90 arctanT例5-1 如图所示RC超前网络,要求绘制它的幅相曲线 。式中 T=RC 。其频率特性为RCr(t) c(t)5.0 0.982 11.32.0 0.895 301.0 0.707 45幅相曲线如图ImRe0T=125T=T=01T A() ()()0 0 900.1 0.0995 84.30.3 0.288 73.3 102. 2.按实频特性和虚频特性计算作图按实频特性和虚频特性计算作图把开环频率特性按实部和虚部分开，然
13、后再用一系 列值代入，计算相应的实频和虚频值,绘制出开环幅 相曲线。3. 3.由极点由极点零点分布图绘制零点分布图绘制由开环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点 ，当s=j时，可作出相应零点或极点对应的矢量(频率 特性)，根据所对应的值，计算出有关矢量的长度和 角度，就能求得频率特性。 例5-2 由极点零点分布图求例1中的频率特性解：G(j0) = 090G(j1/T) = 0.70745 G(j2/T) = 0.89530G(j5/T) = 0.98211.3G(j) = 10 0j-1/Tj+1/TImRe0 =1/T2/T5/T = 4. 4. 开环极坐标图的近似绘制开环极坐标图的近似
14、绘制(1) 根据开环零-极点图确定起点( =0)：精确求出 A(0) ，(0) ；(2) 确定终点( =)：求出A() ，() ；(3) 确定曲线与坐标轴的交点： G(j)=Re()+j Im()与实轴的交点：令 Im() = 0 求出 x 代入 Re(x)(4) 由起点出发，绘制曲线的大致形状。试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性 例5-3 已知系统开环传函为（1）Gk (j0) = k0 （2）Gk (j) = 0180（3）当 增加时，()是单调减的，从0变化到180。0j-1/T1-1/T2ImRe0=0幅相曲线大致形状如图:例5-4 已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频
