《线性代数第3章向量精美教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数第3章向量精美教程（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 向 量3.1 n维向量及其线性运算3.2 向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩 3.4 向量空间 考研园地 下页3.1 n维向量及其线性运算定义1 由n个数组成的一个有序数组 称为一个n维向量, 简称为向量,通常用小写黑体希腊字母 等表示. 向量 的分量 分量全为实数的向量称为实向量 .分量为复数向量称为复向量 .本章上页下页3.1 n维向量及其线性运算一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等, 也不能把它们等同起来. 行向量 列向量 转置向量 注意 本章上页下页3.1 n维向量及其线性运算定义2 如果两个n维向量 对应的分量相等,则称这两个向量相等, 记作 本章上页下页
2、3.1 n维向量及其线性运算设向量 两个向量 定义3则向量 称为向量的和,记作 向量 称为 的负向量, 记为的减法, 看成是 的负向量 的和,记为 本章上页下页称为数与向量 的乘积, 记作 3.1 n维向量及其线性运算定义4 设如果一个n维向量的所有分量都等于零,则称它为零为一个实数, 则向量 定义5向量, 用黑体0表示. 注意 n维零行向量、n维零列向量都写成0,但意义不同.本章上页下页3.1 n维向量及其线性运算向量的加法、减法和数与向量的乘法运算统称为向量的线性运算向量的线性运算规律: (交换律)(结合律 )本章上页下页3.1 n维向量及其线性运算向量的线性运算规律: 为n 维向量, k
3、, l是数. 本章上页下页例1 已知解3.1 n维向量及其线性运算求 本章上页下页例2 试将下列线性方程组写成向量形式:解3.1 n维向量及其线性运算本章上页下页例3 证3.1 n维向量及其线性运算则 证明:若 则命题已经成立. 本章上页下页3.2 向量组的线性相关性1. 向量组的线性关系2. 向量组的线性相关与线性无关本章上页下页上页下页3.2 向量组的线性相关性1. 向量组的线性关系本节则称向量 和n维向量 3.2 向量组的线性相关性给定m个n维向量组 如果存在 一组数 使 可由向量组 线性表示(或线性表出) 定义1称为向量组 设 为m个n维向量,为任意m个数,则向量的一个线性组合. 上页
4、下页本节向量形式3.2 向量组的线性相关性如果存在一组数 是线性方程组()的解,则()的常数列构成的向量 就可由方程的系数构成的向量组 线性表出. 反之, 若()的常数列构成的向量 可由向量组 线性表出, 即则数组 是线性方程组()的解.上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例1证明向量 解可由向量 线性表示, 并具体将 表示出来. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例2证明:向量组 证中任意一个向量 都可以由向量 线性表示.由定义知向量 都可以由向量 线性表示.上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例3证明:零向量是任一同维向量组 证的线性组合. 由定义知零向量是任一同维向量组 的线性组
5、合. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例4设 证由定义知向量向量则称向量组 为n维单位坐标向量组. 证明:任一n维都可以由向量组 线性表示. 可以由向量组 线性表示. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定义2 设有两个向量组A:若B组中的每个向量都可以由向量组A线性表示,则称向量组 及 B:B可以由向量组A线性表示. 若向量组B可以由向量组A线性 表示, 且向量组A又可以由向量组B线性表示, 则称这两个向量组等价.上页下页本节3.2 向量组的线性相关性向量组的等价具有以下性质:(2) 对称性:若向量组A与向量组B等价,则向量组B与向量组A等价. (3) 传递性:若向量组A与向量组B等
6、价,且向量组B与向量C等价,则向量组A与向量组C等价.(1) 反身性: 任何一个向量组都与自身等价 . 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例5设两个3维向量组 证向量组B可以由向量组A线性表示; 试证明向量组 A 与向量组 B 等价. 向量组A可以由向量组B线性表示. 故由定义知, 向量组A与向量组B等价. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性2. 向量组的线性相关与线性无关上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定义3则称m个向量 设 为m个n维向量,若存在一组不全为0的数使线性相关,否则就称这m个向量线性无关注意 上述定义对于m=1的情形也是适用的. 若 线性相关, 则存在 使得 任意
7、一个非零向量总是线性无关的.上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例6证明下述3个向量证线性相关线性相关 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例7含有零向量的向量组必线性相关. 证设向量组为 线性相关 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例8证明单位坐标向量组证设线性无关 .使 线性无关 .上页下页本节3.2 向量组的线性相关性例9解设它们的线性相关性. 试讨论设使 线性方程组有非零解. 向量组 线性相关. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定理1m个n维向量组 线性相关的充分必要条件是 有非零解. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性推论 n个n维向量组 线性相关的充分必要条件是它
8、们的分量组成的n阶行列式的值等于零. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定理2若向量组 线性相关, 则向量组 存在一组不全为零的数 线性相关. 证线性相关, 线性相关. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性推论 若一个向量组线性无关, 则它的任何一个部分向量组也线性无关. 线性表出与线性相关的关系. 线性相关 线性表出 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定理3向量组 线性相关的充要条件是向量组 则存在一组不全为零的数 内至少有一个向量可以被其余向量线性表出. 证线性相关, 可以被其余向量线性表出 ,线性相关 线性表出 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性推论1 设n 维向量组 线性
9、相关. 则向量组 推论2 设 n 元齐次线性方程组则该齐次线性方程组有非零解. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性定理4 设向量组A:则向量组B 及向量组B:证若向量组B可以由向量组A线性表示, 且 线性相关. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性有非零解. 上页下页本节3.2 向量组的线性相关性推论1 设向量组A:及向量组B:证若向量组B 可以由向量组A 线性表示, 且向量组B线性无关,推论2 设向量组A:及向量组B:若向量组A 与向量组B 等价,且都线性无关 ,A 可由 B 线性表示且 A 线性无关,B 可由 A 线性表示且 B 线性无关,上页下页本节线性相关,则 3.2 向量组的线
10、性相关性定理5 若向量组可由向量组 线性无关,而向量组 证线性表示,且表示法唯一. 先证 可由向量组 线性表示. 线性相关,与向量组线性无关矛盾. 上页下页本节再证表示法唯一. 3.2 向量组的线性相关性例如 线性无关,上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩1. 向量组的秩2. 矩阵的秩本章上页下页3.3 向量组的秩与矩阵的秩线性无关 .1. 向量组的秩线性相关,线性相关,线性相关.极大线性无关组上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定义1 设有一组向量(其中可能有有限多个向量,也可能含有无穷多个向量),若其中的r个向量 满足下面的条件,则称 向量组的一个极大线性无关组, 简称极大无关组:
11、 线性无关 ;(2) 向量组中任意 r+1 个向量 (如果向量组有个向量的话)都线性相关“极大性”: 向量组中任一向量都能由 线性表示上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定理1则它是极大无关组的充分必要条件是 中的任一 向量都可由 必要性. 的线性无关部分组,证上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩充分性. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例1解求向量组 的一个极大线性无关组 的分量构成的行列式线性无关. 四个3维向量 必线性相关,是所给向量组的一个极大无关组 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定理2由对称性知, 向量组C与向量组B等价. 向量组的任意两个极大无关组所含向量
12、的个数相同. 证 设向量组A、B是向量组C的两个极大无关组,由定理1知,向量组A与向量组C等价, 向量组B与向量组C等价. 由传递性知,向量组A与向量组B等价. 由上节定理2的推论2知, 向量组A与向量组B所含向量的个数相同. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定义2叫做该向量组的秩,记作 的极大无关组所含向量的个数,一个线性无关的向量组, 它的极大无关组就是自身, 其秩就是所含向量的个数. 规定: 零向量的秩为零. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定理3线性相关的充分必要条件是 等价的向量组有相同的秩. 定理4线性无关的充分必要条件是 推论 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵
13、的秩例2证求证:若 无关的向量都可以作为该向量组的一个极大无关组. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例3证设向量组 +上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩因此, 这两个向量组等价. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩2. 矩阵的秩行向量组 列向量组 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定义2例4矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩, A的列向量组 的秩称为A的列秩. 求矩阵A的行秩与列秩:解线性相关. 线性无关 ,上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩线性相关. 线性无关 ,上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定理5例5任一矩阵的行秩等于矩阵的列秩. 矩阵A的秩 求矩阵
14、的秩:解线性相关. 线性无关 ,上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩定理6例6初等变换不改变矩阵的秩. 求下列矩阵的秩 :求矩阵秩的简便方法:用初等变换将A化为标准形矩阵D,则D矩阵的主对角线上非零元个数就是矩阵A的秩. 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩阶梯矩阵 解上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩一个mn矩阵,如果它的秩等于m,则称它是行满秩矩阵;如果它的秩等于n,则称它是列满秩矩阵;如果m=n,且它是行满秩矩阵(也是列满秩矩阵),则这个矩阵就称为满秩矩阵. 例7求下列矩阵的秩 :上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩解上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例8解将向量
15、组写成矩阵形式,再作初等变换,得求向量组的秩:上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例9解设向量组 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例9解设向量组 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例9解设向量组 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩例10证设A是 mn 矩阵, B是 ns 矩阵, 则 上页下页本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩同理可证 上页下页本节3.4 向量空间例1 则设向量集合 在V 中任取两个向量 V 对于向量加法和数乘是封闭的. 本章上页下页设V为维向量的集合,如果集合V非空,且集合V 对于向3.4 向量空间定义1量的加法及向
16、量的数乘都是封闭的,那么称集合V为向量空间. 例如 V 对于向量的加法和数乘是封闭的,零空间 本章上页下页一般地,实数域上的所有 n 维向量构成的集合是一个n维向量空间, 记作3.4 向量空间例2它是由所有三维向量构成的集合,则V 是一个向量空间. 因为任意两个三维向量之和仍是三维向量,数 k 乘三维向量也仍是三维向量,它们都属于V. 三维向量空间 本章上页下页3.4 向量空间例3证是一个向量空间. 显然 L非空. L是一个向量空间. 本章上页下页3.4 向量空间定义2 本章上页下页3.4 向量空间例4证同理可证 本章上页下页3.4 向量空间定义3 例如 本章上页下页3.4 向量空间定义4 r称为向量空间V 的 维数,记作 并称V为r 维向量空间. 零空间的维数是0. V的基就是向量组的极大无关组,V 的维数就是向量组的秩. 本章上页下页3.4
