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1、2.4.1抛物线及其抛物线及其 标准方程标准方程9/22/20241抛物线的生活实例抛物线的生活实例投篮运动投篮运动9/22/202429/22/20243萨尔南拱门萨尔南拱门9/22/202449/22/20245 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 9/22/20246实验模型：实验模型： MF 如图，点如图，点F是定点是定点,L是不经过点是不经过点F的定直线。的定直线。H是是L 上任意一点，过点上任意一点，过点H 作作 ，线段，线段FH的垂的垂直平分线交直平分线交MH于点于点M，拖动点，拖动点H，观察点，观察点M的轨的轨迹，你能发现点迹，你能发现点M满足的几何条件吗？满足的几何条件吗？
2、 实验实验9/22/20247 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l（l不不经过点经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线一、抛物线定义一、抛物线定义其中其中 定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点 定直线定直线 l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线lHFM定义定义告诉我们：告诉我们：1 1、判断抛物线的一种方法、判断抛物线的一种方法2 2、抛物线上任一点的性质：、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|MF|=|MH|9/22/202481、到定点（、到定点（3，0）与到直线）与到直线 的距离的距离相等的点的轨迹是（相等的点的轨迹是
3、（ ） A.椭圆椭圆 B.双曲线双曲线 C.抛物线抛物线 D.直线直线2、到定点（、到定点（3，0）与到直线）与到直线 的距离的距离相等的点的轨迹是（相等的点的轨迹是（ ） A.椭圆椭圆 B.双曲线双曲线 C.抛物线抛物线 D.直线直线CD练习练习9/22/20249二、抛物线的标准方程二、抛物线的标准方程1.1.建建: :建立直角坐标系建立直角坐标系. .3. 限（现）限（现）:根据限制条件列出等式根据限制条件列出等式;4. 代代:代入坐标与数据代入坐标与数据;5. 化化:化简方程化简方程.2.2.设设: :设所求的动点设所求的动点(x,y);(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：回顾求曲线方
4、程一般步骤：9/22/202410FMlH建系建系xyyOyOONKNFK9/22/202411（一）标准方程的推导（一）标准方程的推导: :yoF设设KF= p （ p 0）由由|MF|=|MH|可知，可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）如图，以过如图，以过F点垂直于直线点垂直于直线 的直线为的直线为 轴，轴，F和垂足的中点为坐标原点建立和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系直角坐标系K则则F（ ，0），）， ：x = - p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y），）， M(x,y)H9/22/202412 把方程把方程 y2 = 2px（p0） 叫做抛物线的叫做抛物线的标准
5、方程标准方程而而p 的几何意义是的几何意义是: 焦点到准线的距离焦点到准线的距离 其中其中 焦点焦点 F（ ，0），），准线方程准线方程l：x = - p2p2KOlFxy.想一想想一想: :在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？看图看图9/22/202413（二）四种抛物线的标准方程（二）四种抛物线的标准方程图图9/22/202414（三）区别与联系（三）区别与联系1、四种形式标准方程及图像的共同特征
6、、四种形式标准方程及图像的共同特征（1 1）、二次项）、二次项系数系数都化成了都化成了_ _ （2 2）、四种形式的方程一次项的系数都含）、四种形式的方程一次项的系数都含2p2p1（3 3）、四种抛物线都过）、四种抛物线都过_点点 ；焦点与准线分别；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为位于此点的两侧，且离此点的距离均为_O9/22/2024151 1、一次项一次项(x(x或或y)y)定焦点定焦点2 2、一次项系数、一次项系数符号符号定开口方向定开口方向. . 正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。二、四种形式标准方程及图像的区别二、四种形式
7、标准方程及图像的区别9/22/202416例例1 1 已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；解解: 2P=6,P=3所以抛物线的焦点坐标是（所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的的相反数的相反数三、应用三、应用9/22/202417练习练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2 = -20 x（2） y = 6 x 2 焦点焦点F ( -5 , 0 ) 准线：准线：x =5焦点焦点F ( 0 , ) 124
8、准线：准线：y = 1249/22/202418例例2 2 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F（0 0，-2-2） 求它的标准方程。求它的标准方程。解解: 因为焦点在因为焦点在y的负半轴上的负半轴上,所以设所所以设所求的标准方程为求的标准方程为x2= -2py 由题意得由题意得 ，即，即p=4所求的标准方程为所求的标准方程为x2= -8y9/22/202419解题感悟解题感悟:求抛物线标准方程的步骤：求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式确定抛物线的形式.（2）求求p p值值（3）写抛物线方程写抛物线方程9/22/202420求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。）
9、的抛物线的标准方程。 AOyx解解:（1）当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= （2）当焦点在）当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。巩固提高巩固提高：注意注意: :焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论9/22/202421例例3 .一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接束呈近似
10、平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为线的口径为4.8m,深度为深度为0.5m，试建立适当的，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 9/22/202422小结小结1.理解抛物线的定义理解抛物线的定义, ,2.2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P P的几何意义的几何意义. .3.3.注重数形结合、分类讨论思想的应用注重数形结合、分类讨论思想的应用 9/22/202423练习根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程根据下列条件写出各自
11、的抛物线的标准方程（1）焦点是）焦点是 F（3，0）（2）焦点到准线的距离为）焦点到准线的距离为2y 2 = 12xy 2 = 4x ,y 2 = 4x ,x 2 = 4y ,x 2 = 4y9/22/2024244a1焦点坐标是焦点坐标是（0 ， ），），准线方程是：准线方程是： y=4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上p2=14a 二次函数二次函数 (a 0)的图象为什么是一的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。线方程。解：解：二次函数二次函数 化为：化为：其中其中思考思考: 9/22/202425作
12、业作业 P73 A组组 ：1,2（必做）（必做）补充：求经过点补充：求经过点p（4，-2）的抛物线）的抛物线 的标准方程。的标准方程。9/22/202426解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：化简得：M(x,y)xyOFL9/22/202427解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为设动点 ，由抛物线定义得 化简得： M(x,y)xyF(O)L9/22/202428y22p (p0)F(，0)2p2pxyLFoM9/22/202429 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！30
