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1、5.9正弦定理(一)天马行空官方博客:http:/ ;QQ:1318241189;QQ群:175569632问题1:如图,江阴长江大桥全长2200m, 在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 张角为75o,在火车北渡口C处测得大桥南北 桥墩的张角为45o,试求BC的距离。 北桥墩AB南桥墩C火车北渡口7504502200米ABC750450创设情景问题2: ABC中,根据刚才的求法写出 A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B 、b的关系式再给予证明。探究1: 上述关系式对钝角三角形、直角三 角形是否适用?ABCDabcsinA= sinB= sinC= 。直角三角形:已知一锐角和一边,求其余
2、元素。1所以 c=c=c=CBAcab猜想:对其它三角形此结论是否成立?探索研究验证定理证明: 在ABC中,有 不妨设C为最大角,过点A作ADBC于D,于是 即其中,当C为锐角或直角时 , 当C为钝角时, 故可得csinB-bsinC=0,即 同理可得 所以 cabABCDcabABC(D )cabABCD请大家用文字表述正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等。当 时正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。说明(1)正弦定理对任意三角形都成立;它揭示了三 角形中边与角的一种关系。(2)正弦定理的几种变式:(类同比例的性质)探究2:该比值是什么?OC/cbaCBA探究2:正弦
3、定理与外接圆的关系正弦定理的应用(1)已知两角和任一边,求其他 两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对 角,求另一边的对角(从而进一 步求出其他 的边和角)知 “三” 求 “三”解:正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角案例探究例在ABC中,已知a2,b ,A45,求B和c。变式1:在ABC中,已知a4,b ,A45,求B和c。变式2:在ABC中,已知a ,b ,A45,求B和c。正弦定理应用二:已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角。(要注意可能有两解或无解)(1)A为锐角AbaBCAB2baB1CabsinAb(一解)baABCbaCBA ab(一解)三种 等积法 分割法 向量法定理思想方法小结提高二种 转化思想 方程思想 一个 正弦定理Cc Bb Aa sinsinsin=作业:同步作业本67页