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1、立 体 几 何习题课例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。ABCSEF提示：设三棱锥S-ABC，侧面SAC、SBC为 等边三角形，边长为 ，SASB。取SA中 点E，AB中点F，连接AE、BE、EF。可证得 ：SC 平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE 得三棱锥体积。注意：分割法求体积。（KEY： ）ABCSD例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积 。法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得ABC 为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SDAB， CD
2、AB。又SA=SB=SC，S在底面的射影为底 面的外心，即点D，SD平面ABC。 由VS-ABC= SABCSD得三棱锥体积。（解法2）例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距离。ABCDA1B1C1D1 提示：利用 = 求解。注意：等体积法求点面距离。KEY：例3、在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，（1）BCBC1 1与侧面 ABBABB1 1A A1 1所成的角为_；（2）如果M M为CCCC1 1的中点，则截面ABAB1 1M M与底面所成的角的大小为_。ABCA1B1C1 DB1ABCA1C1MN注： （1）中利用面面垂直的性质找线面
3、成角。（2）中射影面积公式的应用：SAB1Mcos=SABC. 45o例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o，VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。（1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上 ；（2）求VC与AB所成的角的大小。AVBCME FG例5、已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC = ，PC=AB= ，求三棱锥的体积。提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图， 则V P-ABC=V长方体-4V 。设长方体长宽高分别为a、b、c，则有：所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）。PABCPA B
4、CPABC例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三 条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB AC； （2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。ABCPDBP1P2P3ADCE 22mmmnn（甲） （乙）BP1P2P3ADCE22mmmnnABCPD 解:(1)（略） (2)甲图中，作PDAC于D，连接BD，可得PDB即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。乙图中，作AECP3于E点，则AE=P1P2=4。PA=AC，即P3A=AC，E为CP3的中点。设AP1=AC=AP3=m，CE=EP3=n，由CP2=CP3得：m-n=2n m=3n 又在ACP3中有：AECP3=ACDP3 ，而AE=4 ， 由 得：DP3=8/3，即PD=8/3。甲图RtBPD里， BD=10/3， cosPDB=4/5,为所求。（甲）（乙 ）2如图，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水高度 为h，放入一个小球后，水面恰好与球相切，求球的半径。R 2RhV1V2 V2=V1+V球课本P81第8题小结： 1、分割法求体积； 2、利用射影面积法求二面角； 3、补形法求体积； 4、几何体展开问题。
