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1、第三节 伯努利方程及其应用伯努利方程描述定常运动下理想流体的流速、压力 和高度之间的关系1. 1. 伯努利方程的推导伯努利方程的推导（利用功能原理）S1aS2cbdttv1v2在做定常流动的理想流体取一细流管，经过短暂时间 t ，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d ，流过两个截面的体积分别为由连续性原理可知下面利用功能原理研究这段流管内的流体运动S1S2ttP1P2h1h2伯努利方程表明在同一流管的不同截面处，单位体积流体的动 能，单位体积流体的势能，单位体积流体的压强之和为一常量2. 2. 伯努利方程的应用伯努利方程的应用SASB（1）小孔流速如图所示SBSA，取
2、 A、B 两点为参考点，由伯努利方程可得由由可知，0=B AB AvSSv选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得又由PA= P B =P 0 可得（托里拆利公式）表明流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速相等虹吸管A CBhAhBhc用来从不能倾斜的容器中自动排出液体虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点 水库表面远大于虹吸管截面，由连续性原理 可知 ，因此其实质为小孔流速问题类似地可求得若hA hc，则管内流速没有意义，即如果管口比水库面高，在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。例1. 已知水管里的水在压强 P = 4.0105Pa 作用下流入室内
3、，水管的内直径为 2.0 cm ，管内水的流速为4.0ms-1。引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。求浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速以及浴室水龙头关闭 与完全打开时浴室水管内的压强。S1v1s2v2h2打开水龙头，管口处的压强打开水龙头，管口处的压强减小减小，这是水的流动导致的结果，这是水的流动导致的结果A CBhAhBhc例2. 利用一管径均匀的虹吸管从水库中引水 ，其最高点B比水库水面高3.0m，管口C比水 库水面低5.0m,求虹吸管内水的流速和B点处 的压强是多少？可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小， 因此水可以上升到B处（2）喷雾原理由于S2
4、很小，流速v2 很大，故使 P2 低于周围大气压，当流速v2大 到使P2 低于大气压时，容器内流 体就会上升到2处，被高速气流吹散成雾，这种现象称为空吸现象 。 （3）皮托管 适合于测定气体的流速的皮托管(a) A和B距离足够远，以使开口处的压 强和流速都具有自由流体的流速和压强 。(b) 压强计左管指示的压强为流体在B 处的压强，而右管指示的压强为A处的 压强。(c) 由于A口迎着流体运动方向， 流体在此处流速降为零。(d) 流管水平放 置，A、B处高度差近似为零。hB A适合于测定液体的流速的皮托管hAB（4）文丘里流量计（测量流体体积流量）hSASB1234v1v2v3v4例3. 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入 管4。如管1中的流量为900cm3s-1. 管1、2、3的截面积均 为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作定常流动，分别求（1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;（3）管1、4中的压强差.
