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1、数学物理方法王丽艳 Email: nj_ 答疑地点：数学系 (图书馆507)概述主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业 课做准备承上启下。课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述 物理问题的能力、综合应用数学知识的能力， 提高运算能力。课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及 应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近 似解法.教材及指导书一、教材： 管平等编.数学物理方法，第二版，高等教育出版社，2010年4月 二、主要的参考书：梁昆淼编.数学物理方法，第三版，高等教育出版社，1998年6月 。胡嗣柱、倪光炯编，数学物理方法，上海：复旦大学出版社郭敦仁编，数学物理方法，北京：人民教育出版社。
2、陆全康编，数学物理方法自学辅导，上海：上海科学技术出版社。要求和考核基本要求：1、课前预习 2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席 3、上课认真听讲，做好笔记 4、课后复习，整理笔记，独立完成作业成绩组成和考试方式：1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占20%，考试占80% 2、考试方式：闭卷笔试第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数主要内容: 1.1复变函数和解析函数 1.2复变函数的积分 1.3复变函数的级数 1.4留数及其应用 1.5分式线性变换。第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 1.1复变函数和解析函数1.1.1 复变函数z=x+iy x=Re z，
3、y=Im z i为虚数单位，i2=-1 复数的几何意义一、复数的概念复平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数注：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数复数的表示代数表示： z=x+iy三角表示： z=r(cos+isin )指数表示： z=r exp(i )复数的运算z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1注： 复数不能比较大小复数相等第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数零点与无穷远点复平面上特殊的点:零点和无穷远点. (1)复数零的幅角没有定义,模为0. (2)无穷远点的模为,幅角不确定. 包含“无穷远点”的复平面称为
4、扩充复平面， 该无穷远点借助测地投影法来定义。第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数测地投影法定义无穷远点A AA第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数二、复数的运算第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数三、 复变函数区域的基本概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成 的集合，称为z0的 -邻域|z-z0| 0|z-z0| z0z0第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数开集如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集 。Gz0内点设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的 一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G 的内点。第一章 复变
5、函数 第一节 复变函数与解析函数区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件 ：1. D是开集；2. D是连通的。边界点设D为复平面上的一个区 域，如果点 p不属于D， 但是在 p的任何邻域内都 包含有D中的点，这样的 点 p称为D的边界点。闭区域区域D连同它的边界一起构成闭区域，记为Dz1z2p边界D的边界点之全体称为D 的边界。第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数xyOR xyOR xyR OrxyR-ROxOy1xOy第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条 简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲 线内部总
6、属于B ，则称B为单连通区域，否则称 为多连通区域。BB单连通域多连通域第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数复变函数的定义设D是复平面上的一个区域。如果有一个确定的法则f 存在，使得对于D内的的每一个复数z，有一个或多个 复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函 数，或复变函数，记为w=f(z)。 说明1如果z的一个值对应着唯一一个w值，那么我们称 f(z)是单值函数；如果z的一个值对应着多个w值，那么我们称f(z)是 多值函数。值域：M=w| w=f(z),zD第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数说明2复变函数w=f(z)可以看作是z平面到w平面 上的一个映射。
7、复变函数w=f(z)可以写成w=u(x,y)+iv(x,y)， 其中是z=x+iyw=f(z)z平面w平面第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数举例求0, 0r1经w=iz变换后在w平面上 的图形。z平面w平面第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数复变函数举例基本初等函数指数函数z平面w平面第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数双曲函数三角函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数对数函数幂函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数复变函数的极限和连续性设 A= u0+iv0第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数1.1.2 解析函数一、 复变函数可微与导数的
8、概念定义1第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数设复变函数 f 在 内有定义,如果极限存在,则称函数 f 在 处可导,并称此极限值为f在点 处的导数,记为 ,即或记为 定义结论：可微等价于可导，且若函数 在区域 D 内的每一点都可导，则称在 D 内可导. 第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数例1. 求 ( 为正整数 ) 的导数.解：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数1.从定义形式上看，复变函数与一元实变函 数 是完全一样的，所以实变函数论中的相 关规则往往可以适用于复变函数。2.复变
9、函数的可导有更严格的要求实变函数x只能沿实轴逼近0，而复变函数z则可以沿任何曲线逼近于0 。例如：注意：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 首先看z则沿实轴逼近于0的情形：再看z沿虚轴逼近于0的情形：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 定理1.1.1(可导的必要条件)Cauchy-Riemann条件第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数例5证明：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数定理1.1.2 （可微的充要条件）第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数
10、 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数导数f (z0)的幅角Argf (z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0 处的转动角.w=f(z)Argf (z0)导数f ( z0)的模|f ( z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何 曲线在z0的伸缩率。Z 平面w 平面复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角 ）第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数二、解析函数的定义设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数 f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析 ，则称f(z)在区域D
11、内是解析函数说明2. 称函数的不解析点为奇点1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数由定理9.2即得： 定理9.3 （判断解析的充要条件）第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解：例7. 下列函数在何处可导，何处解析第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解:第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解:第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数证明:第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数三、初等函数及性质1. 指数函数性质：注意：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数2.三角函数性质：，第一章 复
12、变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 3. 对数函数说明：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数性质：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解:第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 4.幂函数性质：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数解：第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数作 业习 题 （P）1（1）（3）（5）；2第一章 复变函数 第一节 复
13、变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数.以z轴作实部,颜色作虚部 在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像. 第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同. 第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数
