《高等数学(微积分)课件--§6.3定积分计算方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(微积分)课件--§6.3定积分计算方法（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3定积分的计算方法n一、定积分的换元积分法n二、定积分的分部积分法既然计算定积分这种特殊类型的和式极限 ,可以通过计算被积函数的原函数的值来完成, 所以计算定积分的过程就与计算不定积分基 本类似，不定积分的一些计算方法都将在定 积分计算中得到体现，并针对定积分的要求 做些修正，更方便于使用。1定积分的换元法n定积分换元法：设函数f(x)在区间a,b上连续, 而x=(t)满足下列条件： x=(t)在区间,上单调且有连续导数； ()=a,()=b，且当t在区间,上变化时, x=(t)的值在a,b上变化，则有换元公式口诀：口诀：“ “换元换元” ”同时要同时要“ “换限换限” ”！( (不换元就
2、不要换限不换元就不要换限) )2换元法证明n证：3换元法注意点n1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证 相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是 连续的；n2：变换函数在变换后的区间内是单调的；n3：变换后，积分上限、下限要发生变化。4例题与讲解n例：计算n n解：解：5例题与讲解n例：计算n n解解6例题与讲解n*例：计算n n解解原式7例题与讲解n例：计算n n解：解：令原式注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！注：此题也可以从几何意义来解，较为方便！ 8由奇偶函数的对称性由奇偶函数的对称性 以及定积分的几何意以及定积分的几何意 义也可说明结论正确义也可说明结论正确例题与讲解n例：设f
3、(x)在-a,a上连续,则n n证证9奇函数在对称区间上的积分n若f(x)是对称区间-a , a上的奇函数(如右图)n由于奇函数关于原点对称,结合 定积分的几何意义，可以得出yxOy = f (x)-aaAA10偶函数在对称区间上的积分n若f(x)是对称区间-a , a上的偶函数(如右图)n由于偶函数关于y 轴对称,结合 定积分的几何意义，可以得出y = f (x)yxO-aaAA11例题与讲解n例：利用对称性，计算n n解：由于解：由于sinxsinx在在- - , , 上为奇上为奇 函数函数, ,故故12例题与讲解n例：计算因为因为为奇函数，为奇函数，n n解：解：为偶函数，为偶函数，因此
4、：因此：13例题与讲解n例：计算 n n解：设解：设14例题与讲解n*例：计算n n解解注意：此例用的是第一换元法，原积分变量注意：此例用的是第一换元法，原积分变量 并未消失，因此并未消失，因此, ,这种情形的换元，积分上、下限不变。这种情形的换元，积分上、下限不变。n n* *例：计算例：计算n n解解15例题与讲解n例：若f(x)在0,1上连续,试证明：并由此计算并由此计算n n证证16续上页移项,整理得17定积分的分部积分法n设函数u(x)、v(x)以下简记为u、v在a,b上有 连续的导数,则有即把先积出来的那一部分代上、下限求值即把先积出来的那一部分代上、下限求值, ,余下的部余下的部
5、 分继续积分分继续积分, ,这样做比完全把原函数求出来再代上、这样做比完全把原函数求出来再代上、 下限简便一些。下限简便一些。n n推导推导18例题与讲解n例：计算n n解解令则19例题与讲解n例：计算n n解解20例题与讲解n例：计算n n解解21例题与讲解n例：计算n n解 解 22例题与讲解n例：计算n n解 解 分别用定积分的分部积分法求右端两个积分分别用定积分的分部积分法求右端两个积分于是于是23例题与讲解(换元法结合分部积分法)n例：计算n n解解设设24例题与讲解25小结n定积分的换元法对称性的应用、几个特殊积分等式对称性的应用、几个特殊积分等式n n定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式（注意与不定积分公式的区别）（注意与不定积分公式的区别）26练习解答解答解答解答27练习解答解答解答解答解答28解答返回习题29解答返回习题30解答x=asinty=acost2t=u31解答x=1-tdx=-dt返回习题32解答33解答34解答35解答36解答x=-t37解答10. 设在区间上连续，且证明：（*）对（*）两边同时取定积分38
