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1、数字通信原理LCU1第七章 差错控制编码LCU2单元概述 实际信道传输数字信号时，不可避免地会产生误码。差错控制编码的目的是用信道 编码的方法检测和纠正误码，降低误码率。LCU3单元学习提纲 （1）前向纠错、检错重发差错控制方法；（2）检错和纠错的基本原理；（3）码距的定义，它与检错、纠错能力的关系； 纠错编码误码率的计算（4）分组码、卷积码、线性码、系统码的定义；（5）线性分组码中监督方程、监督矩阵、生成方 程、生成矩阵的含义；LCU4（6）汉明码的特点及构造；（7）循环码的特点及编码方法；（8）循环码的一种解码方法；（9）卷积码的编码方法，生成多项式与编码器的 构造；（10）卷积码的树状图
2、、网格图表示；（11）卷积码维特比译码的基本原理和译码过程；LCU主要内容 7.1 差错错控制编码编码 的基本概念 7.2 纠错编码纠错编码 的基本原理 7.3 线线性分组码组码 7.4 循环码环码 7.5 卷积码积码5LCU67.1 差错控制编码的基本概念1、用差错控制编码来检错和纠错的原因2、信道的分类3、差错控制方式4、差错控制编码的分类LCU77.1.1 用差错控制编码来检错和纠错的原因LCU8u在中等传输速率（1200/2400波特）下，对于干线有 线载波信道， Pe约为10-410-6的数量级，对于无线 短波通信， Pe只有10-210-3的数量级。u对码速为64kbps的系统,国
3、际电报电话咨询委员会 把误码率10-3的称为严重误码。u我国长途光缆通信系统的进网要求之一：误码性能 要优于10-9。u千兆以太网的可接受的最高限度误码率为10-10 LCU9为保证传输数据的完整性，通常采用一定的措施， 如利用均衡器纠正信道中的乘性干扰； 加大发送功率、扩展信道频带宽度等办法来减少加性干扰。采用上述方法仍难以满足要求时，必须 采用差错控制措施，即用差错控制编码来检检 错错和纠错纠错。LCU101、随机信道：误码的出现是随机的，误码之间 是统计独立的。如由正态分布白噪声引起的误码（ 称为随机误码随机误码）2、突发信道：误码是成串集中出现的，即在短促的时间区间存在大量误码，在较长
4、的时间区间无误 码出现。产生突发误码突发误码的主要原因是脉冲干扰3、混合信道：既存在随机误码又存在突发误码的信道称为混合信道。7.1.2 信道的分类LCU111、检错重发方式（ARQ）2、前向纠错方式（FEC）3、混合纠错检错方式（HEC）4、反馈校验方式（IRQ）7.1.3 差错控制方式LCU12LCU131、检错重发方式（ARQ）原理:采用检错重发方式，发端经编码后发出能检测错误的码；接收端收到后经检验如果发现传 输中有错误，则通过反向信道把这一判断结果反 馈给发送端。然后发送端把信息重发一次，直到 接收端确认为止。要求:采用这种差错控制方法需要具备双向通道需要具备双向通道，一般在计算机数
5、据通信中应用。LCU14ARQ停发等待重发方式：发对或发错，发送端均要等待接收端的回应。特点是系统简单，时延长。图中ACK是确认信号，NAK是否认信号。LCU152、前向纠错方式（FEC）原理：发送端经编码发出能纠正错误的码，接收端收到这些码组后，通过译码能发现并纠正误码。要求：前向纠错方式不需要反馈通道，特别适合只能提供单向信道的场合，特点是时延小，实时性 好，但系统复杂。但随着编码理论和微电子技术的 发展，编译码设备成本下降，加之有单向通信和控 制电路简单的优点，在实际应用中日益增多。LCU163、混合纠错检错方式（HEC）原理：混合纠错检错方式是前向纠错方式和检错重发方式的结合，发送端发
6、出的码不但有一定的纠错 能力，对于超出纠错能力的错误要具有检错能力。这种方式在实时性和复杂性方面是前向纠错和检错重发方式的折衷，因而在近年来，在数据通信系统中 采用较多。LCU174、反馈校验方式（IRQ）原理：又称回程校验。收端把收到的数据序列全部由反向信道送回发送端，发送端比较发送数据与回 送数据，从而发现是否有错误，并把认为错误的数 据重新发送，直到发送端没有发现错误为止。优点：优点：不需要纠错、检错的编译器，设备简单。缺点：缺点：需要反向信道；实时性差；发送端需要一定 容量的存储器。IRQ方式仅适用于传输速率较低、数据差错率较低的控制简单的系统中。LCU187.1.4 差错控制编码的分
7、类1、按照差错控制编码的不同功能，可以分为检错码（仅能检测误码）、纠错码（仅可以纠正误码）和纠删码（兼有纠错和检错功能）。2、按照信息码元信息码元和附加的监督码元监督码元之间的检验关系可以分为线性码（信息码元和监督码元满足一组 线性方程）和非线性码。3、按照信息码元信息码元和监督码元监督码元之间的约束关系可以分为分组码和卷积码。LCU194.根据信息码元在编码前后是否保持原来的形式不变，可分为系统码和非系统码。5、按照纠正错误的类型不同，可以分为纠正随机错误的码和纠正突发错误的码。6、按照构成差错控制编码的数学方法来分类，可以分为代数码、几何码和算术码。其中代数码建立在近 代数学基础上，是目前
8、发展最为完善的编码，其中线 性码是是代数码的一个最重要的分支。7、按照每个码元的取值不同，可以分为二进制码和多进制码。LCU20卷积码非线性码线性码纠错码分组码循环码非循环码纠随机 错误码纠突发 错误码纠随机和突 发错误码纠同步 错误码纠错码分类LCU217.2 纠错编码的基本原理1、纠错编码的基本思想2、码重、码距、最小码距的定义3、码距与检错和纠错能力4、差错控制编码的效率5、几种常用的简单检错码LCU22回忆： 香农的信道编码定理R=e+1 A e1dmin(a)LCU30（2）在一个码组内纠正t个误码，要求最小码 距dmin=2t+11tABtdminLCU31（3）在一个码组内纠正t
9、个误码，同时检测e个(et) 误码（当误码数大于t时就不能纠错，只能检测e个 误码），要求最小码距dmint+e+1AB tedmint(c)LCU32假设在随机信道中发送“0”时的错误概率和发送“1”时 的相等，都等于p,且p生成矩阵LCU 例题：已知某线性码的监督矩阵求其典型监督矩阵、生成矩阵、该码的最小距 离和纠错能力57最小距离为3， 纠正1位错码LCU583 校正子 设发送码组A为一n列的行矩阵，发送码组在传 输过程中出现了误码，接收端收到了B矩阵，也是 一n列的行矩阵。设收发码组之差E=B-A（模2），称为错误图样。LCU59校正子S可以根据接收序列B和H矩阵来计算 。可见校正子只
10、与错误图样有关，与发送序列 无关，是一个信道参数。u 如果不出现误码，校正子S=0。u 如果有误码，通过计算校正子S来指示误码的 位置和纠正误码。LCU60举例：设发送的序列A=0001011错误图样 E=0001000接收到的序列B=0000011，计算校正子：=(0 1 1)指示a3有错误 LCU611.汉明码是1950年由美国贝尔实验室汉明提出来的 ，是第一个设计用来纠正错误的线性分组码，汉明 码被广泛用于数字通信和数据存储系统中。7.3.3 汉明（Hamming)码LCU622.汉明码（n,k)是一种可用于纠正1个随机错误的循环 编码。一般汉明码的参数如下：码长: n=2r-1信息位:
11、 k=2r-1-r最小码距： d0=3，通常用于FEC系统汉明码的编码效率 LCU63纠错一位的一般汉明码结构监督位r信息位k码字长度n347411155263165763LCU64 监督矩阵：它的n列分别由全零之外的2r-1个r 位码组构成，并且每个码组只出现一次。如 与前不同的另一个监督矩阵：LCU65 循环码是线性分组码中的一类，是以现代代数理论作为基础建立起来的。 循环码的编码和译码设备相对简单 循环码的检错和纠错能力较强，常用于CRC校验。 7.4 循环码概述LCU66 7.4 循环码内容 1.循环码的基本概念 2.循环码的性质 3.循环码的生成矩阵 4.寻找任一(n,k)循环码的生
12、成多项式 5.循环码的监督矩阵 6.循环码的编码方法 7.循环码的解码方法LCU67循环码除了具有线性码的一般性质外，还具有循 环性，即任一码组循环移动一位(将最右端的码元移 至左端，或反之)以后，仍为该码中的一个码组。即 若是许用码组，则也是许用码组。（不论左移、右移和移位位数）一、循环码的基本概念LCU68 循环码举例(7,3)循环码（左移）00101110101110101110001110011110010110010110010110000000 循环码举例2(6,3)循环码（P312）LCU69例如 A=1100101循环码的系数矩阵：码多项式：LCU70a.线性码（封闭性、单位元
13、素、逆元素、结合律）b.码多项式按模运算，模为xn+1二、循环码的性质LCU71对于整数对于整数m,m,若可以表示为若可以表示为则称则称m p(m p(模模n)n) ，或称，或称mm与与p p是同余的。是同余的。码多项式码多项式F(x)F(x)被被n n次多项式次多项式N(x)N(x)除，得到商式除，得到商式Q(x)Q(x)和和 一个次数小于一个次数小于n n的余式的余式R(x)R(x)，即，即则则 F(x) R(x) ( F(x) R(x) ( 模模N(x) )N(x) )知识回顾知识回顾LCU72码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1。 例如有模2加 0 + 0 = 0 0 + 1 =
14、1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0模2乘00 = 001 = 010 = 011 = 1注意:模2运算加法和减法是等价的，在式子中通 常用加法运算符，具体模2运算的规则定义如下 ：一般情况下，取码多项式的模为xn+1LCU73 若T（X）是长度为n的循环码一个许用码组，则 左移i位后的xiT（X）按模xn+1 运算也是一个许 用码组。即若 xiT（X） T (X)，则T(X)也是 一个许用码组。c.循环移位LCU74例如某循环码1100101，则T(X)=X6+X5+X2+1,XT(X)=X7+X6+X3+X,余数构成的码是1001011，正好是左移一位的结果LCU75例如某循环码11
15、00101，则T(X)=X6+X5+X2+1,左移两位余数构成的码是0010111重要结论：即 n位码组循环左移i位等价于相应多项式乘以xi后取xn+1的模所得余数。LCU76 循环码举例(7,3)循环码编号a6a5a4a3a2a1a0编号 a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010LCU77什么是生成矩阵？可以产生整个码组的矩阵。有了生成矩阵G，就可以由k个信息位得出整个码组，而且生成矩阵G的每一行都是一个码组。若能找到k个线性无关的码组,就能构成矩阵G。否则，给定的信息位与编出
16、的码组就不是一一 对应的。三、循环码的生成矩阵GLCU781.在循环码中，一个(n，k)码有2k 个不同码组，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为0的码组，即则 都是码组，而 且这k个码组是线性无关的。因此可以 用来构成循环码的生成矩阵G。g(x)=0 1x xk位n-k位LCU792.生成多项式g(x) ：l连0长度最多有k-1位，满足常数项a0=1 ；如001 1101因为循环码中除全“0”码外，再没有连续k位均为“0”的 码组。否则会出现k个信息位全为“0”，但是监督位不 为“0”的码组。l唯一的(n-k)次多项式(在非零码组中次 数最低)；lg(x)必须是xn+1的因式（见后面分析） 。LCU80循环码
