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1、第6章 离散时间体统z域分析 Z变换 Z变换的性质 信号的Z变换求法 反Z变换 离散时间系统的Z变换分析法 数字滤波器的概念6.1 Z变换 6.1.1 Z变换的定义 一般来说，常把具有单位响应h(n)的离散时间非时变系统的双边Z变换（简称Z变换）定义为(61) 而对信号x(n)的双边Z变换定义为(62) 正像有双边和单边拉普拉斯变换一样，Z变换也分为单边Z变换和双边Z变换。（62）式所示的是双边Z变换，而单边Z变换定义为(63) 例61 已知x(n)=u(n)求其Z变换表达式。解 由（62）式可知：(64) 由等比数列求和的性质可知，（64）式的级数在|z-1|1时是发散的，只有在|z-1|1
2、时才收敛。这时无穷级数可以用封闭形式表示为(65)6.1.2 Z变换的收敛域 1. 收敛域的定义与拉普拉斯变换的收敛域的定义相类似，Z变换的收敛域的定义为：能使某一序列x(n)的Z变换 级数收敛的z平面上z值的集合。序列Z变换级数绝对收敛的条件是绝对可和，即要求 (66)因为 为满足上述绝对可和的条件，就必须要对|z|有一定范围的限制。这个范围一般可表示为由此可见Z变换的收敛域为z平面上是一个以Rx-及Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，如图6.1所示。(67) 图6.1 环形收敛域 2. 序列x(n)的特性与X(z)的收敛域由（66）式很容易知道X(z)的收敛域不仅与|z|有关，还与序列x
3、(n)的特性有关。为说明二者之间的关系根据序列的不同分四种情况讨论。1) 有限长序列(1) n10,n20时，有上式中除了第一项的z=处及第二项中的z=0处外都收敛，所以总收敛域为0|z|。有时将这个开域(0,)称为“有限z平面”。 (2)n10,n20时，有显然其收敛域为0|z|，是包括零点的半开域，即除z=外都收敛。 (3)n10,n20时，有显然其收敛域为0|z|，是包括z=的半开域，即除z=0外都收敛。 (4)特殊情况，n1=n2=0时，这就是序列 ，它的收敛域为整个闭域z平面，即0|z|。 2) 右边序列的Z变换为 (1) n10时，这时的右边序列就是因果序列。 因此，n10时的右边
4、序列的收敛域可以写成|z1|z|，如图（6.2）所示。(2) n10时，Z变换为图6.2 右边序列收敛域例62求指数序列x(n)=anu(n)的Z变换。解 显然指数序列是一个因果序列 3) 左边序列图6.3 指数序列收敛域图6.4 左边序列收敛域例63 求左边序列x(n)=-bnu(-n-1)(b1)的Z变换。解 由信号的Z变换的定义可知 若公比|b-1 z|1，即|z|b|时此级数收敛。此时 图6.5 收敛域零、极点分布4. 双边序列当n，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列，它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和 。对此序列进行Z变换得到6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系
5、如果信号x(n)是与连续时间信号xc(t)的理想取样函数xp(t)对应的序列，那么x(n)的Z变换X(z)，可以由该理想取样函数xp(t)的拉氏变换式导出。连续时间信号xc(t)被理想取样后的函数xp(t)可表示为其中xc(nT)为连续时间函数xc(t)在t=nT时刻的值是一个离散时间序列，记为x(n)。取样函数xp(t)的拉氏变换为 (68) (69) (610) 图6.6 s平面与z平面的对应关系为了更清楚地表达这个映射关系，将s写成直角坐标的形式：s=+j，而将z写成极坐标的形式z=rej。这样将s平面变换到z平面后就可以写成(611) 6.2 Z变换的性质 6.2.1 线性特性 设x1
6、(n)X1(z)其收敛域为A，x2(n)X2(z),其收敛域为B，则有ax1(n)+bx2(n)aX1(z)+bX2(z)其收敛域为AB（这里a,b为常数）。这一关系显然是和拉普拉斯变换的同一特性相对应，为了避免不必要的重复，它的证明从略。 6.2.2 移序特性 若x(n)X(z)的收敛域为A，则x(n-n0)z-n0 X(z)的收敛域也为A，但在零点和无穷远点可能发生变化。例64 求信号x(n)=u(n+1)的Z变换及其收敛域。 解 因为u(n) 利用Z变换的移序特性，有 因为u(n)是一个因果序列，而u(n+1)是非因果序列，所以它的收敛域在无穷远处发生了变化，即删除原有的无穷远点，u(n
7、+1)的Z变换的收敛域为1|z|。6.2.3 频移特性 若x(n)X(z),则e jnx(n)X(e-jz)。证明： 设 e jn x(n)的Z变换为F（z），则有 上述特性表明，信号在时域内乘以复指数信号ejn，相当于在z平面作一旋转，即全部零、极点的位置旋转一个角度。为更好地说明这个问题，请看下面的例子。例65求信号x(n)=sin(n)u(n)的Z变换及其收敛域。解 由于因此 图6.7 收敛域及零、极点图6.2.4 尺度变换特性 若x(n)X(z)的收敛域为R, 且收敛域为|a|R。 证明： 令 ，则它的Z变换 所以 6.2.5 z域微分特性若x(n)X(z),收敛域为R，则nx(n)
8、收敛域为R。 证明 设序列y(n)=nx(n),则它的Z变换例66 已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。解 由例61可知，u(n)的Z变换 并由z域微分特性可知， 其收敛域为|z|1。6.2.6 卷积特性 若x1(n)X1(z),x2(n)X2(z),其收敛域分别为A、B，则x1(n)*x2(n)X1(z)X2(z)，其收敛域为AB。证明 设x1(n)*x2(n)的Z变换是X(z)，则例67如果x1(n)=u(n)， 且y(n)=x1(n)*x2(n)，求y(n)的Z变换Y(z)。解 先分别求x1(n),x2(n)的Z变换X1(z),X2(z): 收敛域为|z|1 收敛域为|z|
9、收敛域为|z| 例68已知 ,求u(n)*u(n)。解令y(n)=u(n)*u(n)，则它的Z变换为由例66可知 由例61可知 所以 而所以 6.2.7 时域反转特性 例69已知x(n)=u(-n)，求其Z变换及其收敛域。解 由例61可知u(n)的Z变换由时间反转特性可知，6.2.8 时域求和特性 若x(n)X(z)的收敛域为R，则,其收敛域为R(|z|1)。 证明 因为 6.2.9 初值定理 如果因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且 存在，则 证明 当z时，在上式级数中除第一项x0外，其它各项都趋于零，所以 故有由此递推，得到一般式 (612) 例610 已知 ，求y0,y1,y2。解
10、6.2.10 终值定理 若因果序列x(n)的Z变换为X(z)，而且X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，则 证明 设y(n)=x(n+1)-x(n)，由于x(n)为因果序列，于是y(n)的Z变换两边同时对z1取极限有因为X(z)的极点除了在z=1处允许有一阶极点外，其余极点均在单位圆内，而且x(n)又是因果序列，因而y(n)=x(n+1)-x(n)的Z变换Y(z)的收敛域是最外部极点的外部，一定包括z=1，因此，求极限可以与求和来交换运算次序，这样就有：表61 Z变换的性质及定理 6.3 信号的Z变换求法 6.3.1 常用信号的Z变换 为了便于Z变换及其反变换的计
11、算，把一些常用信号的Z变换列于表62中。对于这些信号的Z变换，可以直接由定义计算，也可以根据一些常用信号的Z变换，再应用Z变换的性质获得。下面就用后一种方法讨论表62中的部分信号的Z变换。表62 Z变换表 6.3.2 求序列Z变换的方法 求序列的Z变换常用的方法有三种：(1)利用Z变换的定义直接求解序列的Z变换；(2)借助Z变换性质从已知变换推导出未知的Z变换；(3)利用幂级数展开的方法求Z变换。下面分别举例说明。 例611 求下列序列的Z变换，并表明收敛域，画出零、极点图： 解 (1)已知序列 ，Z变换为当 时，级数收敛于 图 6.8 （2）已知 则其双边Z变换为当|z| 时，级数收敛于（3
12、）已知 则其Z变换 |z|0时，级数收敛于图 6.9 （4）已知， 则双边Z变换为图 6.10 例612求序列x(n)=cosncosnu(n)的Z变换。解 利用欧拉公式将x(n)化为指数函数： 例613 证明下列Z变换式（n0）: 常数 常数 例614 已知序列x(k)的Z变换为X(z)，若将x(k)由k=0到k=n的各项进行求和，给出新序列（1）求g(n)的Z变换G(z);（2）若令x(k)=k2，求g(n)及G(z)。6.4 反Z变换 6.4.1 幂级数展开法（长除法） 因为x(n)的Z变换定义为z-1的幂级数，一般而言，对于因果序列f(n)的单边Z变换F(z)即为 把它与Z变换的定义式
13、（62）比较可以看出：例615求 的逆变换x(n)（收敛域为|z|1）。解 由于X(z)的收敛域为|z|1，因而x(n)必然是因果序列。此时X(z)按照z的降幂排列形成下列形式： 例616 设有Z变换式 ，试用幂级数展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。解 要用展开F(z)为幂级数的方法求f(k)，为此将F(z)进行长除：例617 求收敛域分别为|z|1和|z|1两种情况下， 的逆变换x(n)。解 对收敛域|z|1，X(z)相应的序列x(n)是因果序列，这时X(z)写成 ,进行长除，展开成级数这样得到x(n)=(3n+1)u(n)。6.4.2 部分分式法当F(z)有n个单阶极点a1,a2,an时，则 展开为再在等式两边同时乘以z，可得 最后，利用表62中的第(1)号和第(3)号公式，即可得原序列 例618 设有Z变换式 ，试用部分分式展开法进行反Z变换。这里的f(k)为有始序列。解 把 展开为再在等式两边同时乘以z，可得因为这里的f(k)为有始序列，所以其收敛域为|z|1和|z|0.5的公共部分即|z|1。由表62中的第(1)号和第(4)号公式：所以，当|z|1时例619求 的逆变换x(n)，其中|z|1。 解 把 展开为再在等式两边同时乘以z，可得因为|z|1，由表62中的第(1)号和第(4)号公式：例620 已知一有始序列y(n)的Z变换为 ，求y(n)。解 由于
