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1、第五章 CTS 的复频域分析 5.1 引言FT 分析法的不足之处： 1.一般只能处理符合狄利希莱条件的信号。 e t (t) (0）不存在有FT。2.反FT积分的求解困难。3.只能确定零状态响应。频域复频域 共同点：线性系统具有迭加性与齐次性。主要区别：信号份解的基本单元不同，在中是虚指数信号e jt或cost;而在 L T 中是 e s t 或 e t cost 。5.2 拉普拉斯变换（LT）5.2 - LT 的定义 收敛因子e - t 。 使得 t 时，f (t) e - t 0 , t - 时，f (t) e - t 0 f (t)e t 1 e - t0te (- ) t (t) e
2、- t1f (t) e - t0t一种存在有双边LT的函数例：乘以收敛因子后，有f (t) e - t = e - tt 0e (- ) t t 0t 0 时，该极限等 于零，则f (t) e - t 在 0 的全部范围内是收敛的。即 0 0 为 收敛条件。（5-8）j 00S平面收 敛 轴收 敛 坐 标收 敛 区举例：指数阶函数1. 单个脉冲信号推知：凡有始有终，能量有限的信号，其收敛坐标位于- ，整个S 平面都属于收敛区。既有界的非周期信号的LT一定存在。2. 单位阶跃信号 0收敛区为 S 平面的右半平面。3. 指数函数 a(a- ) a 5.3 -2 双边LT 的收敛区f (t) =f1
3、(t) f2(t) t 0t 0时的函数f 1(t)，是收敛区的左 边界，以+ 表示；另一个决定于t + ，则上式中两个积分有公共收敛区，双边LT存在；如果- + ，则 无公共收敛区，双边LT不存在。例：设已知f (t) =f1(t) f2(t) t 0t + ，故公共收敛区 为 0 a )（5-9）(a)单位阶跃函数 (t)令式（5-9）中a = 0, 则得 (t)=1 s（5-10） (b)正弦函数 sin t sin t = （5-11）(d) 衰减正弦函数e -a t sin t e -a t sin t = =（5-12）(f ) 双曲线正弦函数 sh t sh t = ( e t
4、e - t ) 1 2 sh t =s2 - 2 （5-13）2. t 的正幂函数 t n (n 为正整数 ) t n =对上式进行分部积分，令 u = t n , d v = e s t dt则 t n = t n - 1 n s依此类推，得 t n = t n - 1 n s=n sn-1 s t n -2 n sn-1 s=n-2 s2 s1 s1 s=n! s n+1（5-14）（5-15）当 n =1 时，有 t =1 s23. 函数 te a t一个函数 f (t) 与指数函数 e a t 乘积的LT ，等于函数 f (t) 的LT 中以 s+a 代替 s 所得的结果。证： f (
5、t) e a t = 由此及上例的结果，得 f (t) e a t = 1/（s+a）24. 冲激函数 A(t)由得 A(t) =若 A=1，即得 (t) =1f1(t)f2(t)f3(t)111000e a te a te a te a t(a)(b)(c)三个具有相同单边 LT 的函数F(s) = 1 s+a -1 1 s+a = e a t(t 0)5.5 拉氏反变换1. 部分分式展开法设F(s)为有理函数，它可由两个s的多项式之比来表示。即式中ak，bk为实数，m 及 n 为正整数。如 m n 时，在将上式分解为部分分式 前，应先化为真分式，例如 F(s) =3s3-2s2-7s+1
6、s2+s-1用长除法除s2+s-13s3-2s2-7s+13s3s3+3s2-3s -5s2-4s+1-5-5s2-5s+5s-4得F(s) = 3 s 5 +s- 4 s2+s-1 -15= 5 (t) , -13s=3(t)。（5-18）（1）m 0或ss2+2s+5 =s(s2+2s+1)+4=s(s+1)2+22=(s+1)2+22(s+1)2+22s+1-1由表5-1的公式12及13，可得 -1 -1ss2+2s+5 =(s+1)2+22(s+1)2+22s+1-1t 0(2) m 0 -1例题 5-4 求的原函数。解：D(s)=0有四个根,一个二重根 s1= 0, 一对共轭根 s2
7、= +j2, s3=-j2。将F(s)展开 令 s2 = w ，得则于是由表 5-1 中公式 3 及 8 ，可得f(t)= -1F(s)= -1t02. 围线积分法（留数法-利用留数定理求反变换）（5-32）当 F(s) 为有理函数时，其留数计算如下：（1）若 sk 为 F(s)e s t 的一阶极点，则 （5-33a）（2）若 sk 为 F(s)e s t 的 p 阶极点，则 （5-33b）例题 5-5 用留数法求的原函数。解：令 D(s)=0 , 求 s1=0 , s2 = -3 及 s3 = -1。 f (t) = -13. f (t) 与 F(s) 的对应关系 （自学P278 281）
8、 5.6 LT 的基本性质1. 线性 设 f 1(t)= F1(s) , f 2(t)= F2(s) 则 a1f 1(t)+a2 f 2(t)= a1F1(s)+a2F2(s) 式中 a1 和 a2 为任意常数。例：求 f (t) = sin t 的LT。 解：已知 f (t) = sin t = （e jt - e -jt ) 1 2j e jt= e -jt=1 s+j1 s-j，（5-34）由线性可知 sin t=同理 cos t=2. 尺度变换设 f (t)= F(s)则当 a 0 时 f (t)=（5-35）3. 时间平移设 f (t)= F(s)则 f (t-t0)= F(s) （
9、5-36a）或 f (t-t0)(t-t0)= F(s)（5-36b）例题 5-6 求图 5-8 所示的锯齿波的LT。f (t) fa (t)fb (t)fc (t)0000ETTTTtttt解：图 5-8由表 5-1 及时移性可得 fa(t)= E Ts2s fb(t)= - Ee-sTTs2 fc(t)= -Ee-sT f (t)= fa(t)+ fb(t)+ fc(t)若以T 为周期的有始周期信号 f (t) 的第一周期，第二周期，-等的波形分别用 f1(t)、f2(t) 等表示，则有若 f1(t)= F1(s)，则根据时移性可得 f (t)= F1(s) + F1(s) e sT +
10、F1(s) e 2 sT +-= F1(s) (1+ e sT + e 2 sT +-)（5-38）F1(s)1- e sT=f (t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) +-= f1(t) + f1(t-T) (t-T) + f1(t-2T) (t-2T) +-（5-37）等比级数结论：周期为 T 的有始函数 f (t) 的LT等于第一周期单个函数的LT乘以因子11- e sT。例题 5-7 P285 注意：P286 例 已知 f (t)= F(s) 求 f (at-b) (at-b) =？ (a0, b0) 解：（1）先由时移性得 f (t-b) (t-b) = F(s)e
11、- bs再由尺度变换得 f (at-b) (at-b) = （2）先由尺度变换得 f (at) (at) =再由时移性得 f (at-b) (at-b) = 5. 时域微分4. 频率平移设 f (t)= F(s) ， 则 f (t)e So= F(s s0) 例如由 ，运用频移性立即可得 同理设 f (t)= F(s)则 式中 f (0-) 及 f ( k)(0-) 分别为 t = 0- 时 f (t) 及 的值。 证：令 u = e st , dv = , v = f (t) 则有df dt当 t , f (t)e-st 0；而当 t = 0- 时， f (t)e-st = f (0-) 。故同理可得 =-f (0-)+sF(s)=sF(s)- f (0-)df dt若函数为有始函数, 即 t 0若 = ，求上式的极限（分子分母对 求导），得 s 重根时的反变换式 -1例：一 RL 电路如图所示，激励为单位阶跃电压 (t)，求 il(t)设 il(0-) = 0 。 +-u (t)LRil(t)解：列方程两边取LT U(s) = LsIL(s)+RIL(s) = (Ls+R) IL(s) 故由卷积定理得il(t) = -1IL(s)= -1
