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1、计量经济模型与经济预测 一、线性回归模型 l最小二方程原理和参数估计 =a+bxy Q=(y- ) 最小=(y-a-bx)2 最小 对a和b求一阶微分2Q/2A=2 (y-a-bx)(-a)=02Q/2B= 2 (y-a-bx)(-bx)=0x 得: y-na-b x=0 y=na+bx=0xy-ax-bx2=0 xy=ax+bx2=0 得： a= y/n-b (y/n)b= xy- (x) (y) /n/ x2-(x)2=Lxy/Lxx 回归系数b说明当x变动一个单位时，y平均变动一个b的值l回归误差估计和相关系数估计标准误差： Sy= (y- )2/(n-2) = (y2-a y-b xy
2、)/n-2相关系数： R=Lxy/ LxxLyyLxy= xy- (x y)/nLxx= x2-(x)2/nLyy= y2- (y)2/n线性回归模型预测当计算回归模型由大样本计算时（n30) ，其预测区间的误差分布服从正态分布，则 预测区间为：0=(a+bx0) (Z2/2)Sy当计算回归模型由小样本计算时（n2.365,tb3= -2.45 2.365，说明b1和b2均能通过检 验，说明x1和x2对y的影响是显著的，而tb1=1.82 x1五.异方差与序列相关l异方差 1.回归分析的假定性和异方差 回归分析的一个基本假定就是回归模型中随机误差项单位：千万元商店销售收入（ x)利润总额（ y
3、)因归估计值（ ）残差（e=y- )1160.012.810.22.62151.88.99.6-0.73108.14.16.7-2.44102.82.86.3-3.5589.38.45.43.0668.74.34.10.2766.84.03.90.1856.24.53.21.3955.73.13.2-0.11053.02.33.0-0.7接上表 单位：千万元 商店销售收入（ x)利润总额（ y)因归估计值（ ）残差（e=y- )1149.34.12.81.31243.02.02.4-0.41342.91.32.3-1.01437.61.82.0-0.21529.01.81.40.41627.4
4、1.41.30.11726.22.01.20.81822.40.91.0-0.11922.21.01.002020.70.50.9-0.4根据最小二乘法计算出来的回归模型和回归估计值，然后再计算 残差。从参数估计可看出该回归模型可决系数较高，一有关参 数可能性通过检验，直观上认为该模型可作为预测所用。 但若从残差值(e=y- )做座标图分析，可看出：从坐标图上看，残差的波动基本上呈一个喇叭型状态，销售收入 小的单位，其残差一般较小，销售收入大的单位，其残差一般 也较大，即残差随着商店规模扩大，销售额的增加而扩大。这 表明，不同销信规模的商店，其利润总额的方差各不相同，由 于回归模型中随机误差的
5、方差不是一个常数，这里就存在着异 方差的现象。这种现象经常出现在以横截面数拓建立的回归模 型分析中，对时间序列数据有时也会出现异方差性，例如对某 公司的C-D生产函数的估计，因不同时期的数据内涵标准不同 ，企业的投资水平，管理水平等不同，也会发生异方差性现象 。 2.回归模型存在异方差的后果 参数的最小二乘法估计虽然是元偏的，但却是非有效的。 参数估计量的方差是有偏的，这将导致参数的假设检验也是非 有效的。3.异方差性的检验判断 （1）残差图分析法e一般情况下，对随机数据所做的回归分析，当回归模型满足所有 的假定时，残差图上的点是随机分布的，无任何规律，如上图 所示。如图回归模型存在异方差性，
6、残差图上的点出现相应的 有规律性的趋势，即随着y的增大，而出现e随之增大或减少的 趋势，如下图：（2）等级相关系数法斯皮而曼检验 这种检验既可以用大样本，也可以用小样本进行检验。其步骤如 下： 第一步：作回归方程 =a+bx，并求e=y- 第二步：取e的绝对值，并与x按递增或递减顺序排成等级，然后 计算相关系数。r e x=(1-6d2)/n(n2-1) 式中n为样本容量，d为相应的x与e的等级差数。 第三步：检验，设H0：r=0l; H1: r0 统计量为：t=r/ 1-r2 ta/2(n-2)当t ta/2 (n-2)时，接受H0，可认为异方差性不存在，否刚就接受H1， 认为x与 ei 之
7、间存在系统关系，异方差性存在。在多元线性回归模型中，对任一变量xj做等级相关检验，若不通过 检验，则认为整个回归模型存在异方差性。(3)样本分段比较法检验戈德菲尔德匡特检验 该检验法的步骤是： 将样本按某个解释变量的大小顺序排列，并将其分为两段；然后 分别用最小平方法拟合两个回归模型，并分别计算各段的残差 平方和S残1和S残2，计算高段的样本单位n1和低段的样本单位n2;计 算各段模型随机误差的残差平方和，1=S残1（n1-k-1), 2=S残1（n2 -k-1)；由此构造F统计量F= 1 / a2，该统计量服从第一自由度（ n2-k-1)的F分布，在给定的显著性水平（a）下，进行Fa检验，若
8、 FFa ,刚认为该组数据存在异方差 例如用前述某城市20家商店的销售额，分为5亿元以上的10家商店 和5亿元以下的10家商店，分别用最小二乘法拟保两段的回归方 程得： 1=-0.75190+0.06875x, R2=0.6354(1.1845) (0.0184) 1=4.7037 2=-0.63129+0.07207x, R2=0.5623(0.7535) (0.6225) 2=0.4801 F= 12/ 22=4.7037/0.4801=9.7973 查第一自由度和第二自由度均为 8，d=0.01时Fa=F(0.01)=6.03，即FFa，即认为存在异方差。存在异方差情况下的参数估计 由于
9、异方差存在时用普通最小二乘法对参数旱进行估计的非有效 性，这时回归模型的参数估计就不宜直接采用普通紧小二乘法 进行参数估计，这时通常采用加权最小二乘法进行参数估计。 对一元回归方程一种解的做法是用 xi 去除模型的两边各项。y/ x =(a/ x +bx/ x=a/ x +b x 还有一种方法是先用普通最小二乘法求出回归模型参数a和b，得 回归方程=a+bx),然后用（a+bx）去除模型的两边各项，计算 y/(a+bx)对1/(a+bx)和x/(x+bx)的无常数项的回归方程，这种方法 称为二阶段加权最小二乘法序列相关1.序号相关的概念对时间序列资料，往往由于经济经济发展，某一时间的变量值 对
10、未来某一时间的变量值的影响就产生了序列相关。 例如以前所提到的一元回归方程=a+bx，x为自烃量，y为因变量 。而在离列相关时，所建立的回归方程为t=a+byt-i，这时同是 一个变量y，但yt-i为自变量。例如美国的轿车一般折旧期为3年 ，则前三年的轿车销售量往往会对后三年的轿车销售量发生影 响，这时建立的序列相关回归模型为： t=a+byt-3。当然在 =a+bx的方程中，也会存在序列相关的问题。 在有的统计学课本中，所序列相关回归称为自相关，因回归，即 自身的变量对滞后时期的本变量发生影响。某城市历年的GDP和消费表 单位：亿元年份GDPXt总消费yt回归值t残差Et= yt- t 19
11、78 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990108.84 120.11 139.07 139.15 154.94 183.13 216.61 257.12 284.86 326.82 410.22 455.96 500.7240.98 49.34 57.44 63.72 71.22 81.31 96.14 112.30 125.16 147.87 178.49 197.67 230.9656.07 60.14 66.99 67.01 72.72 82.89 94.98 109.61 119.63 134.78 16
12、4.89 181.41 197.57-15.09 -10.80 -9.55 -3.29 -1.50 -1.58 1.16 2.69 5.53 13.09 13.60 16.26 33.36接上表 单位：亿元年份GDPXt总消费yt回归值t残差Et= yt- t 1991 1992 1993 1994 1995 1996598.79 709.00 863.23 1084.33 1395.12 1616.03225.47 262.97 310.28 396.29 506.58 617.85232.98 272.78 328.47 408.30 520.52 600.29-7.51 9.81 -18
13、.19 -12.01 -13.94 17.56根据上述数据建立的回归方程为： =16.769+0.361x R2=0.99285 et2=3354.2986(4.9374) (0.0074) DW= / =3217.2167/3354.2986=0.961715，否则很难做出正确判断l序列相关情形下的参数估计 当模型存在一阶序列相关时，对参数估计采用的有一阶差方法和 方义差分法及选代法等几种。这里年份简单的一阶差分法。 令：yt= yt yt-1 xt=xt- xt-1,则一阶差分回归模型=a+b x，然后用普通最小二乘法估计其参数。例如对上述某城市资 料无截距（常数）项的一元回归模型，得：
14、yt=0.3756 xt，R2=0.8495.S残=3166.3395(0.0269)l在什么情况可能产生序列自相关现象 （1）遗漏某些关键变量时可能产生序列自相关。例如，研究居民 消费水平时，漏掉居民可支配收入的有关数据变量，则用居民 消费水平数据建立的回归模型可能产生正自相关。（2）经济变量的滞后性会带来序列自相关。例如前述美国轿车一 般三年更新的例子。 （3）采用错误的回归方式也可能引起。 （4）经济上的蛛网现象可能引起。 （5）对数据的错误加工可能导致误差项的自相关，例如，在季节 性时间序列资料建立模型中，我们要常常消除季节性影响，对 数据进行修匀处理后，可能会导致序列自相关。时间序列模型与预测 （一）简单外推模型。 1、简单外推模型。 （1）对一元回归时间序列线性模型。y=a+bt ,按模型趋势发展时，令时间增长到t0，则 y0=a+bt0 Sy= 对大样本数据（n30），区间预测为y0=（a+bt0） 土Z Sy，区间为一平行线外推。对小样本数 据（n30），区间预测为y0=（a+bt0）土t Sy ,这时区间为一双曲线。（2）抛物线模型（2）抛物线模型 一阶：y=a+bt+ct2 二阶：y=a+bt+ct2+dt3y
