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1、1234几个重要的 Maclaurin 级数5678910例4.1若霞级数水c,(:-2)“在=0处收敛,问在=02=3处收敛,还是发散?【解】图为当=3时|:3|si一2|;且级数在=z)处收敛。由Abel定理可知该级数在z=3处收敛且绝对一致收敛。例4.2求下列幂级数的收敛半径.(UD一(并讨论在收敛圆周上的敛散性);)仁-(并讨论在=0.2点处的敛1散性).解:(1)因为limLC2_绍绑/】+l数的收敛半径为口=1;在收敛圆周上,幂级数变为:】万气_,易知该级数绝对收敛回而也收敛p=1叉、(7十)园限二iml一=所以该级73(2)易得:lima的收敛半径为尺一L内z=_lim-0,Z均
2、位于收敛匡一】,故该级数周上,故需要进一步讨论起敛散性,对于z=0,原级数变为交错级数弘(C9,(由交错级数的Lebniz判别法)nzl。友易知其收敛但不绝对收敛,对于z=2,该帝级数变为调和级数,故发散。几个重要的Maclaurin级数不11区二一二】+二斗z卡-叶郢十口一0熹工?!回风H二2z2ZD=1_Z=_二】+-十(=心闫叨刀O21“里(口2、一z2nhsinz乏f3一_上3工54L.-HC2L.日coo刀Cz+HD1I引。OzHDI止二蓼曰+:+埕+-+皇串-阗l1rz史例43分别求羞忐在z=0的邻域内的泰勒展开o解:()易知告在匮|=1的内部是解析的;其在=0一工处的阶导数为,故
3、有上二l十Z一Z十nZ发十-,_Zl.(G)令z“=1则有:例44将函数下一在3-0处展开成幔级数【解由于函数一一一在单位圆周|-1上有一个奇U十Z)点z=一1而在|斗1内处处解析,所以它在门1内可展开成:的幂级数1(口-=Z(一)一z7。闸1例4.10求多值函数(1+z)】“在z=0的泰勒展开。规定5=0时(1+z)“=1。解:可直接求出函数(1+)“在=0的各阶导数值A(0=1(0=aQ+a|,广(0=a(a-DOU+z)“7一人0_0一a(a-D乙(0)=ax(x-D.(X-z+U(L+z)“7_二().其中盲=L酗_e(e-D(a-ntD,称为广义二项式系数。级数的收敛区域依割线的作法而定,收敛半径等于z=0到割线的最短距离。例45求In(1+z)在=0的泰勒展开。【解】我们知道,In(1+)在从-1向左沿负实轻剪开的平雨展开成=的幂级数.1心为Int+z=一-Z(一)二DInd+)=一下_乏(一)_肚所以一一门L20佰哑4-6求琶在Z二0的泰勒展开。e-【解】我们知道,在|:|1是解析的,所以它在|:|1内可1-z以展开成=的幂级数.又因为:侣二二十Z十-上Z门+n.阆吩1岸=Hz十z十z十问b一二l+2二十l+l+上Z+l+上+上Z+抖一1.1一21213110
