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1、 2.6 均 值 定 理2008-11-25（1）若a0，则 ；（2）若a0且b0，则 ；（3）用比较法证明不等式的步骤： ； ； 。作差与0比较下结论. .探索与研究探索与研究一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同。问哪个正方形的面积大？S=abC=2(a+b)(1)(2)1 1、分析问题：、分析问题：n第一个正方形的面积是ab,可得边长为 。n第二个正方形的周长为2(a+b)，边长为 。我们要比较两个正方形面积的大小，只需要比较两个正方形的边长哪个长。对于两个正实数a、b，我们把 叫做a与b的 ，把 叫做a与b的
2、。几何平均数算术平均数由于对任意实数a、b,有因此等号成立两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，即对于任意两个正实数a、b，有等号成立当且仅当 a=b.这个结论通常称为均值定理例1.已知a0,b0，且a+b=6，求ab的最大值。解：根据均值定理，得 从而ab9.等号成立当且仅当a=b。此时ab达到最大值9。由于a+b=6， 因此a=b时，有 2a=6， 从而a=3，例2.已知a0,b0，且ab=16，求a+b的最小值。解：根据均值定理，得 等号成立当且仅当a=b。 由于ab=16，因此a=b时，有 =16， 从而a=4，此时a+b达到最小值8。例3. 求证：对于任意正实数 ，有等号成
3、立当且仅当 .2、为了围成一个面积为49cm的矩形小框，至少要 用多长的铁丝？.演练反馈1、用一根长为20cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？解：设围成的矩形的长与宽分别为x cm、y cm。答：矩形的长与宽都等于5cm时，面积最大，达到25 。演练 1 答案等号成立当且仅当 时, 由已知条件得，x+y= 。据均值定理得此时 达到最大值5，从而 达到最大值25.解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm、ycm。答：至少要用28cm长的铁丝。等号成立当且仅当x=y= =7, 演练 2答案由已知条件得，xy= 49 。 据均值定理得此时x+y 达到最小值14，从而2(x+y)达到最小值214=28。求 的最小值，并求出的最小值，并求出相应的相应的x x值。值。 小 结： 一正：函数式中各项必须都是正数; 二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是 定值； 三相等：等号成立条件必须存在. 均值定理必须满足：
