《备战2010高三数学高考：怎样分类讨论解答集合问题例题解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2010高三数学高考：怎样分类讨论解答集合问题例题解析（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心数学：怎样分类讨论解答集合问题数学：怎样分类讨论解答集合问题解答某些集合问题，需要分类讨论，但同学们却不知道怎样去分类讨论。有时是不知道为什 么要分类讨论；有时是不知道以什么为标准去分类讨论；有时又不知道分哪几类去讨论。本 文就这些问题举例加以说明，期望能给同学们以启迪。一、按集合中对应的元素进行分类讨论一、按集合中对应的元素进行分类讨论例例 1 已知集合，若 A=B，求的值。分析分析：根据集合相等的定义，A 与 B 中除公共元素a外，另两个元素应分别对应相等， 即或，故应分这两种情况进行讨论。解解：当时，消去得，显然(否则 B 中三元素相同，矛盾)， ，得，此时 B 中三元素
2、相同，矛盾。当时，消去得，由得， ，而， 。将代入，得3 4ba 。从而可得,422 4aaa aAaBa，满足 A=B。故为所求的值。二、从反面入手分类讨论二、从反面入手分类讨论例例 2 已知知集合1,2,Aa，22,3,Ba，1,2,3,4C ，aR，则集合ABC不可能是( )A. 2 B. 1,2 C.2,3 D.3分析分析：我们暂时难以知道ABC不可能是哪种情况，但我们可以从反面考虑这个问题，即从题意可以考虑ABC有可能取哪几种情况，于是从选择支提供的信息，可以分类进行讨论。解解：如果ABC 2，则可取0a (当然，其它的值也可以，如5a 、3a 等)；如果ABC 1,2，则1a ；如
3、果ABC 2,3，则3a 。故选 D。三、按集合中元素的特征分类讨论三、按集合中元素的特征分类讨论例例 3 若集合只有一个元素，求实数的值。分析分析：根据题意，集合 A 中的元素的特征是：方程2210axx 中有一个解，而这个方程可以是一元二次方程，也可以是一元一次方程(后一种情况同学们容易忽视)，究竟是哪 种方程，则由a的取值来决定。因此，应对a的取值情况分类讨论解解：当时，方程只有一解。此时，A 中只有一个元素。当时，A 中只有一个元素的条件是方程只有一解，此时， ，得。故所求的值为或。用心 爱心 专心四、利用数轴表示集合分类讨论四、利用数轴表示集合分类讨论例例 4 已知集合23Axx ，
4、12Bx axa ，若AB ，求a的取值范围。分析分析：把集合 A、B 在数轴上表示出来，如图，因为B ，而集合 A 在数轴上是确 定的，集合 B 在数轴上随a的变化而变化，所以，要使AB ，只要 B 位于 A 的左或右侧即可，故按 B 的位置分两种情况分类讨论。解解：如图，把集合 A、B 在数轴上表示出来。因为两数1a与2a在数轴上对应的两点之间的距离为 3，所以B ，故要使AB ，只要22a 或13a ，即4a 或4a 。 故所求a的取值范围是4a 或4a 。五、按子集逐个分类讨论五、按子集逐个分类讨论例例 5 设集合，222(1)10Bx xaxa ，ABB，求实数的值。分析分析：因为A
5、BB，所以BA。由可知，A 的子集有 4 个，故需要对这 4 个子集逐个分类讨论。解解：求得， 又因为ABB，所以BA。(1)若，则222(1)100xaxa 的，即224(1)(1)0aa，得 。(2)若，把代入方程222(1)10xaxa 得。又由方程222(1)10xaxa 仅有一解得224(1)(1)0aa ，解得1a 。即若，则1a 。(3)若时，把代入方程222(1)10xaxa 得或。当时， ，说明不符合要求；当时， 12, 44B ，说明不符合要求。(4)若，则222202(1)01042(1)410aaaa ，得，当时， ，即符合题意。综上所述：。点评点评：本题第(3)问可以
6、用与第(2)问一样的解法去求角，但这里用了另一种解法，目的是 为了开拓同学们的解题思路；第(4)问也可用另一种更简单的解法，即根与系数的关系求解，由0421a 得到1a 。x2a1a-23BAxB2a1aA -23用心 爱心 专心六、按集合中的元素逐个分类讨论六、按集合中的元素逐个分类讨论例例 6 设集合， ，若 A=B，求实数、的值及集合 A 与 B。分析分析： A=B， ， ，可见集合 A 中的三个元素均有可能为 0。故需分，或，或0xy 这三种情况进行讨论。解解： A=B， ， 。可见， ，或，或0xy 。()若，则，此时集合 B 中有两个元素 0，与集合中的元素互异性矛盾；()若，则，
7、同样与集合中的元素互异性矛盾；()若0xy 。这时，又分以下两种情况： 或 由得；由。当时，集合 A、B 中的三个元素均为 0，应舍去；当时，集合 A、B 中都有两个 0 元素，也应舍去。故。为所求。点评点评：本题综合性较强,要用分层讨论。第一层分、 、0xy 这三种种情况。对0xy 时，又分、这两种情况进行第二层讨论。分层讨论是个难点，希望同学们要有信心突破这个 难点。七、按集合中元素的个数分类讨论七、按集合中元素的个数分类讨论例例 7 设全集1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，求满足1,3,5,7,91,3,5,7A 的所有集合A 的个数有多少?分析分析：因为1,3,5,7,91,3,
8、5,7A ，所以集合 A 一定含有 1、3、5、7 这四个元素，一定不含 9 这个元素。即集合 A 至少有四个元素(1、3、5、7)，最多可含八个元素 (1、3、5、7、2、4、6、8)，故可按集合 A 中的元素个数的多少分类讨论来解答这道题。解解：因为1,3,5,7,91,3,5,7A ，所以集合 A 一定含有 1、3、5、7 这四个元素，一定不含 9 这个元素。即集合 A 至少有四个元素，最多可含八个元素。若集合 A 仅有四个元素，则1,3,5,7A ；若集合 A 有五个元素，则1,3,5,7,2A ，或1,3,5,7,4A ，或1,3,5,7,6A ，若1,3,5,7,8A ；若集合 A
9、 有六个元素，则1,3,5,7,2,4A ，或1,3,5,7,2,6A ，或1,3,5,7,2,8A ，或1,3,5,7,4,6A ，或1,3,5,7,4,8A ，或1,3,5,7,6,8A ；若集合 A 有七个元素，则1,3,5,7,2,4,6A ，或1,3,5,7,2,4,8A ，或用心 爱心 专心1,3,5,7,2,6,8A ，或1,3,5,7,4,6,8A ；若集合 A 有八个元素，则1,3,5,7,2,4,6,8A 。综上所述，满足条件的所有集合 A 的个数有1464 115 个。八、利用八、利用 Venn 图分类讨论图分类讨论例例 8 已知全集1,2,3,4,5U ，集合 A 与
10、B 都是全集 U 的子集。并满足条件 1,2AB 且1,2,3,4AB 。试写所有满足条件的集合 A 与 B。分析分析：画出右图所示的 Venn 图，只要确定 3 与 4 放在哪个区域内，就能写出相应的集合 A 与 B。于 是，可根据这个 Venn 图，按 3 与 4 所在的区域进行 讨论。解解：根据题意，画出右图所示的 Venn 图。当 3 与 4 都在AB左侧的半圆内时， 1,2,3,4 ,1,2AB；当 3 与 4 中有一个AB左侧的半圆内时，1,2,3 ,1,2,4AB或1,2,4 ,1,2,3AB；当 3 与 4 都在AB右侧的半圆内时， 1,2 ,1,2,3,4AB。综上所述，满足条件的集合 A 与 B 是： 1,2,3,4 ,1,2AB，或1,2,3 ,1,2,4AB，或1,2,4 ,1,2,3AB，或 1,2 ,1,2,3,4AB。点评点评：这种分类讨论的方法可以用于AB及AB中有更多元素的情形。AB215
