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1、 标尺刻度的设计13.1 实验目的本实验涉及微积分和线性代数的若干基本知识。 通过实验复习函数的反函数、定积分的应用和计算、 解微分方程和解代数方程组等内容；并且介绍了连续 型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法 、二分法和两点边值问题的差分法等。 13.2 实际问题在石油的生产地和加工厂，为了储存原油，经常使 用大量的储油罐。油罐的外形为一个圆柱体和两个圆 锥体的组合，上端有一注油孔（见图13.1）。 1由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中剩油的数 量。这给现有储油量的统计带来很大的麻烦。显然，将 剩油取出计量是不现实的。因此，希望能设计一个精细 的标尺：工人只需将该尺垂直插入使尺
2、端至油罐的最底 部，就可以根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩油量的 多少。这是一个来自油田的问题。213.3 数学模型设圆柱的底面半径为R，长度为L；而圆锥的底面半 径也是R，高为A。若标尺被油浸湿位置的高度为H， 而此时罐内的油量为V。那么我们的问题归结为求出函 数换言之，要求油量函数的反函数。 3由于对称性，我们只要研究的情形就行了。13.4 问题的解法求油量函数的解析方法其中和分别为相应圆柱和圆锥（一侧部分）中的储油量。先求。 4设圆柱体截面中储油部分对应的弓形区域面积为 S(H)，弓形对应的圆心角的一半为那么易得 利用三角函数表达式，就有56再求设与圆锥体底面平行且距底面x处的截面上表示
3、储 油部分的弓形区域面积为Q，那么和前面S不同的是： Q不仅与H有关，而且与x有关。设该弓形的半径为r高 为h， 由几何关系（见图13.3）不难看出： 从而得到7于是类似于S的求法，有通过作变换8这个积分虽然比较复杂，但还是可以积出来，建议 读者自己进行计算，也可以借助数学软件。具体结果 为从而可知9综合（13.4）、（13.6）和（13.11）三式，就有10刻度位置函数的求法显然，要由油量函数的解析表达式（13.12）来 解析地求出反函数H(V)的显式表示是不可能的。 介绍两种近似方法。 1插值法 将区间0，R作如上等分： 那么由式（13.12）可以求得V在各分点的值：现在的问题是：如果给出
4、油量V*，如何确定（求 出）相应的标尺刻度位置H*？ 而这实际 上是求方程的根。11（1）线性插值 设，在此区间上用线性函数近似H(V)，则有（2）二次插值 先找出最接近的V*的 用二次函数近似H(V)，则有，然后在插值方法还有多种，这里介绍的是最简单的。 122二分法综上所述，可以将标尺刻度设计的过程归纳为：步骤一 把区间0，R依精度需要分成n等份， 得剖分点 ；其中利用公式（13.12）算出刻度位置处相应的油量。 步骤二 根据所需的各油量读数所在上一步骤中的 某一油量区间，通过插值或二分逼近法获得相应的刻 度位置值。 13五、数值实例 现在我们以 （单位：m）为例进行实际计 算。 （1）求
5、油量函数的值 取 ，由油量表达式（16.12）可得计算结果如表13.1所示。00.00.000 00.000 00.000 010.10.293 60.002 30.298 2 20.20.817 50.012 80.843 1 30.31.477 50.034 31.546 1 40.42.236 50.068 22.372 9 50.53.070 90.115 33.301 5 60.63.963 40.175 44.314 2 70.74.899 60.248 15.395 8 80.85.867 40.332 06.531 4 90.96.855 70.424 97.705 5 101.07.854 00.523 68.901 214（2）用插值法求刻度位置的值 这里我们仅求对应的H*的值。 由式（13.14）得线性插值近似值为而由式（13.15）得二次插值近似值为两种插值得到的结果有相同的两位有效数字， 说明线性插值在此已有了相当的精度。15（3）用二分法求刻度位置的值 我们仍以即0.002 5，那么计算的结果 为例，如要求误差界为1/400与前述插值法的结果很接近。13.6 实验任务16
