第03章 随机过程和随机场

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1、第3章 随机过程和随机场 3.1 随机过程及其分布函数 3.2 随机过程的数字特征 3.3 随机场的概念 3.4 随机场的数字特征 3.5 随机场的局部平均理论 3.6 随机场的离散 3.1 随 机 过 程 及 其 分 布 函 数随机过程也可以给出另一形式的定义 ：如果对于每一个固定的t1T，X(t1)都是 随机变量(称为截口随机变量)，那么就称 X(t)是一随机过程。 或者说，随机过程X(t) 是依赖于时间t的一族随机变量。并将X(t1) 叫做随机过程X(t)在t1时刻的状态。 基于随机过程是以时间t为参数的一组 随机变量，我们可以将n维随机向量的研究 推广到随机过程。3.1 随机过程及其分

2、布函数3.1 随 机 过 程 及 其 分 布 函 数设X(t)是一随机过程，对于每一个固定的 t1T，X(t1)是一个随机变量，它的分布函数一 般与t1有关，记作 称为随机过程X(t)的一维概率分布函数。成立，则称f1(x1，t1)为随机过程X(t)的一维概率密度函数。（3-1）（3-2）如果存在函数f1(x1，t1)使得3.1 随 机 过 程 及 其 分 布 函 数显然，只讨论一维分布不足以完整描述 随机过程，为此引入二维随机变量(X(t1)， X(t2)的分布函数，它一般依赖于t1和t2，记作 称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。成立，则称为随机过程的二维概率密度函数。（3-3）（3-

3、4）如果存在函数f2(x1，x2；t1，t2)使 3.1 随 机 过 程 及 其 分 布 函 数一般地，对于任意有限个时刻t1, t2, , tnT，将 称为随机过程X(t)的n维概率分布函数。使上式成立的函数fn称为随机过程X(t)的n维概 率密度函数。（3-5）（3-6）3.1 随 机 过 程 及 其 分 布 函 数随机过程X(t)的一维概率分布、二维 概率分布，n维概率分布的全体称为 随机过程的分布函数族。随机过程按其状态X(t1)(任意的t1T)连续与否可分为连续型随机过程和离散型随 机过程；若按随机过程的概率分布函数或 概率密度函数的不同特性分类，则可分为 独立随机过程、马尔可夫(M

4、arkov)过程、独立增量过程和平稳随机过程等。1. 时域数字特征 3.2 随机过程的数字特征 设X(t)是一随机过程，固定t1, X(t1)是 一个随机变量，它的均值(或数学期望)一 般与t1有关，记作 式中f1(x1，t1)是X(t)的一维概率密度函数，并称mX(t)为随机过程X(t)的均值。（3-7）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征均值mX(t)表示随机过程X(t)在各个时刻 的摆动中心，对于整个过程，mX(t)则表示了 X(t)的所有样本函数xi(t)的摆动中心的时域轨 迹，如图3-1所示：图3-1随机过程X(t)的方差定义为 方差的平方根X(t)叫做随机过程X(t)的标准差

5、，它表示随机（3-8）过程X(t)在时刻t对于均值mX(t)的偏离程度， 见图3-1。 3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在时刻t1和t2时的状态，则 为随机过程X(t)的自相关函数, 简称相关函数。可见，自相关函数是概率密度函数的 二阶原点矩。（3-9）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征类似地，将 称为随机过程X(t)的自协方差函数，简称 协方差函数。它是概率密度函数的二阶中 心矩。显然，在式(3-10)中令t1 = t2 = t，得 即同一时刻的自协方差函数就是该时刻的 方差。 （3-10）（3-11）3.2 随 机 过 程 的 数

6、 字 特 征在实际问题中，有时需要考虑两个不同 的随机过程之间的概率特性，描述这一概率 特性的数字特征是互相关函数和互协方差函 数。 设X(t)，Y(t)为两个随机过程，则称 为随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数, 式中f11(x ，t1；y，t2)为随机过程X(t)和Y(t)的联合概率 密度函数。（3-12）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征类似地，称 为随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数。互相关函数描述两个随机过程在时域 上的相关性，即表达了两个随机过程在不 同时刻的概率相关程度。（3-13）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征如果随机过程X(t)和Y(t)对于任意

7、的t1和t2都有 则称随机过程X(t)和Y(t)是不相关的。事实上，如果两个随机过程是相互独 立的，则它们必然不相关；但从不相关一 般不能推出相互独立的结论。不过，对于 两个正态过程而言，不相关与相互独立是 完全一致的。（3-14）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征协方差函数与相关函数之间存在如下关系： （3-15）（3-16）由上式可知，对于均值为零的随机过程，相关函数与协方差函数相同。3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征对于随机过程X(t)，如果其均值等于 常数，自相关函数仅仅是时间间隔 = t2 t1的函数(而与t1，t2无关)，即 则称X(t)为宽平稳过程, 简称平稳过程

8、。对于严格要求有限维概率分布函数都不随时 间发生变化的一类过程称为严平稳过程。3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征对于两个平稳过程X(t)和Y(t)，如果 它们的互相关函数仅仅是时间间隔 = t2 t1的函数(而与t1，t2无关)，即 则称X(t)和Y(t)是平稳相关的。 （3-17）注意到过程的方差函数是以 t1=t2=t 为 前提定义的，所以对于平稳随机过程，有 （3-18）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征平稳随机过程的自相关函数具有下列基本性质：(a) 对称性：(b) 非负定性：即对任意数组t1，t2， tn和任意函数g(t)，有 （3-19）（3-20）3.2 随 机

9、过 程 的 数 字 特 征(c) 有界性：上式表明，RX()在RX(0)处取得极大值。(d) 若随机过程X(t)不包含周期分量，则有 （3-21）（3-22）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征典型的平稳随机过程的自相关函数曲线如图所示。3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征2. 频域数字特征 功率谱密度是描述随机过程统计规 律的最主要的数字特征。在一般意义上，功率谱密度是随机 过程协方差函数的付里叶谱分解的结果。但对于平稳随机过程，由于其均值为常 数, 可以方便地化为均值为零的随机过程 ，因此，其功率谱密度即为自相关函数 的付里叶变换结果。3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征

10、平稳随机过程X(t)的自功率谱密度定义为如下的付里叶变换：其付里叶逆变换为 （3-23）（3-24）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征平稳过程的自谱密度SX()具有下列基本性质：(a) SX()为非负函数，即 (b) SX()为实的偶函数，即 （3-25）（3-26）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数RXY()的付里叶变换称为X(t)和Y(t)的互功率谱密度，定义为 显然，其逆变换为 （3-27）（3-28）3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征平稳过程的互谱密度SXY()不再是实的、正的偶

11、函数，但它具有以下性质：(a) ，即SXY()和SYX ()互为共轭函数。(b) ReSXY()和ReSYX()是的偶函数；ImSXY()和ImSYX()是的奇函数，这里的Re 表示实部，Im 表示虚部。3.2 随 机 过 程 的 数 字 特 征(c) 互谱密度与自谱密度之间满足以下不等式：（3-29）随机场是随机过程的概念在空间域上 的推广。随机过程X(t)的基本参数是时间 变量t，而随机场X(u)的基本参数是位置向 量u = (x, y, z)。因此，随机场可以视为定义在一个场域参数集上的随机变量系。对于场域参数集内的任一点ui都有随 机变量X(ui)与其对应。随机变量X(ui)称为 随机

12、场X(u)在位置ui的状态。3.3 随机场的概念 3.3 随 机 场 的 概 念 随机场处于离散状态抑或连续状态取 决于随机变量X(ui)是离散的或是连续的。显 然，若不考虑参数的物理意义，随机过程即 可视为一维随机场。理论上随机场的参数集可以同时包含位 置向量和时间变量，但在实际应用中，一般 只考虑仅包含位置向量的随机场，并记为 X(u)；u D Rn，其中D为X(u)的定义域( 或场域)，Rn为n维欧几里得空间。位置向量u 可以包含一个、二个或三个分量，相应地称 随机场X(u)为一维、二维或三维随机场。3.3 随 机 场 的 概 念 随机场的概率特性也可以用其n维分 布函数族来描述，并将n

13、维随机向量的研 究推广应用于随机场。对于任意有限个位置向量 称为随机场X(u)的n维概率分布函数。3.3 随 机 场 的 概 念 使得下式 成立的函数fn称为随机场X(u)的n维概率密度函数。在理论上可以通过随机场的分布函数族 来研究随机场的概率特性，但不适用于实际 应用。因此，需要研究随机场的数字特征。设X(u)是一随机场，固定u1，则X(u1)是 一个随机变量，其均值为 3.4 随机场的数字特征 式中f1(x1，u1)是X(u)的一维概率密度函数。均 值mX(u)表示随机场X(u)所有样本函数xi(u)的平 均中心点的场域曲面。（3-30）3.4 随 机 场 的 数 字 特 征设X(u1)

14、和X(u2)是随机场X(u)在u1和u2的状态，则 称为随机场X(u)的自相关函数，简称为相关函数。（3-31）3.4 随 机 场 的 数 字 特 征为随机场X(u)的自协方差函数，简称为协 方差函数。类似地，称（3-32）协方差函数与相关函数之间的关系为 （3-33）3.4 随 机 场 的 数 字 特 征一个随机场，若任意平移位置坐标，其所有的联合概率分布函数保持不变，则称该随机场为均匀随机场，或严格齐次随机场。在实际应用中，一般只考虑随机场的二阶统计特性，因此，仅要求其具有二阶均匀性。3.4 随 机 场 的 数 字 特 征一个随机场，若满足 mX(u) = 常数 (3-34)则称此随机场是

15、广义均匀的，或广义齐 次的。若无特别声明，本书以后所述的 随机场均指这类随机场，并称之为二阶 均匀随机场，或二阶齐次随机场。(3-35) 3.4 随 机 场 的 数 字 特 征一个随机场，对于任意的点组u1，u2 ，um D，如果绕通过原点的任一轴 的旋转变换使随机场的联合概率密度函数 保持不变，则称该随机场为各向同性随机 场。若只考虑随机场的二阶统计特性，在 满足式(3-34)和(3-35)的条件下还满足 则称该随机场是广义各向同性随机场。可见 这类随机场的概率特性与方向无关，而只与 距离有关。 (3-36) 对于均匀随机场，可以将其定义的空间区域划分为若干个随机场单元，再将连续的随机场离散

16、为随机变量集合，以便在随机有限元法中应用。在讨论随机场的离散方法之前，先以一维随机场为例介绍随机场的局部平均 理论。 3.5 随机场的局部平均理论 3.5 随 机 场 的 局 部 平 均 理 论 1.1. 局部平均与方差函数局部平均与方差函数 设X(t)为一维连续参数均匀随机场， 其均值为mX，方差为X2，随机场X(t)在一 个离散单元t T/2，t + T/2上的局部平 均定义如下： 式中T是局部平均单元的长度，XT (t)称为 局部平均随机场。随机场X(t)与XT (t)的关 系如图3-3所示。 (3-37) 3.5 随 机 场 的 局 部 平 均 理 论 由图3-3可见，XT (t)的均值不变(亦为 mX)，其方差由下式得到： 式中(t)称为X(t)的方差函数，它表示在局 部平均意义下对“点方差” X2的折减。 (3-38) 3.5 随 机 场 的 局 部 平 均