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1、第五章：优化模型华侨大学信息系0：引言1: 最优化意义： 自然界许多事情均按最 经济（优化）方向进行 的。例：光走的路程沿所花时 间最短的方向行进（由 此可行光的折射，反射 定理）人们也希望最经济（优化）做一些事。资源分配中要求在有限资源中产生效益最大。 运输中满足条件下运输费用最低 。生产中使成本最低，利润最大。使经济增长最大，失业率最小！ 2：建立最优化模型步骤 确定问题的决策变量，用n维向量x=（x1xn）表 示。构造目标函数f（x） （极为重要）找x 允许取值的范围 x， 称为可行域常用一组 不等（等式）g i（x） 0 （i = 1，2，m ）界定称 为约束条件。 数学表达：min
2、z = f （x） （1）xs，t，gi （x） 0 i = 1，2m（2） min （求极小）可以改为max（求极大）；s.t（subject to）是“受约束于”意思； 满足（2）的解 x，称为可行解 满足（1），（2）的解 x*，称为最优解。 3：最优化模型的求解：（1）这是多元函数的条件极值问题。求解析解的基本原理和方法已经给出。（2）但是：实际中解析方法只能处理 f，g较简单 ，m，n比较小的情形 ；实际中f，g比较复杂，m，n 较 大就难求转化为 数值解法。（3）只有（1）式的优化，称为无约束优化。（1 ），（2）组成的模型，称为约束优化。实际中的优化 问题是有约束的； 但如果最优
3、解不是在可行域的边界上 ，而是在它内部 ，那可以用无约束优化来处理，另外无 约束优化为约束优化的基础，故先讨论无约束优化。第一次：无约束 优化 模型 一：问题1：产销量安排： 某厂生产一种产品有甲，乙两个牌号 ，讨论在产销平衡 的情况下如何确定各自的产量，使总 的利润最大，所谓产销产销平衡指工厂的产量等于市场 上的销量。（1）问题分析：利润即取决于销量 和（单件）价格 ， 也依赖于产量和（单件）成本。按市场规律，甲的价格 p1固然会随其销量x1增长而降低，同时会随乙销量x2增长 而降低，乙的价格p2 也遵循同样的规律。（2）假设：简单地假设价格与销量成线性关系 p1 = b1a11 x1 a1
4、2 x2 ，b1 ，a 11 ，a12 ，a11 a 12p2 =b2 a21 x1 a 22 x2 ， b2 ， a 21 ， a22 ，a 22 a 21假设甲，乙成本为其产量的负指数关系,设甲 ，乙成本为q1，q2（单位成本）即：（3）目标函数：(5）：如果加一个条件 限制：两个牌号的产量和不能超过常 值，比如100，那么问题变成在在条件x1+x2100下，使（ 3）式 z（x1,x2 )达到最大的约束优化。 2：经济增长模型：（0）问题：增加生产，发展经济所依靠的主要因素有： 增加资金，增加劳动力以及技术革新。研究国民经济产值与这些因素 的数量关系时，由于 技术水平不像资金，劳动力那样
5、容易定量化，作为初步的 模型，可认为技术水平不变，只讨论产值与资金，劳动力 之间的关系;在资本主义初期，这模型应该有意义.目的寻 求产值与资金，劳动力之间的关系。（1）：假设变量：设Q，K，L分别表示产值，资金劳动 力，求Q（K，L）。（2）建模：A：产值依赖于每个劳动力的投资强度，并且与劳动 力数量成正比（G表示某一函数）B：产值随资金，劳动力的增长而增加，但是 增长得越来越慢，根据这个假设选择（4）式 中函数G的形式，常用的函数是（3）估计参数（即是优化模型 ）：（7）式中，a 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1890 1926年上述三个经济指数的统计数据。 常用方法：对（7）式取
6、对数线性二乘法估计，a ； 或直接对（7）式非线性拟合估计 ，a 。 所谓式直接对（7）式非线性拟合估计 ，a ，就是选 取，a 。q=0.72,0.78,0.84,0.73,0.72,0.83,0.81,0.93,0.96,1. 00,1.05,1.18,1.29,1.30,1.30,1.42,1.50,1.52,1.46, 1.60,1.69,1.81,1.93,1.95,2.01,2.00,2.09,1.96,2. 20,2.12,2.16,2.08,2.24,2.56,2.34,2.45,2.58; k=0.95,0.96,0.99,0.96,0.93,0.86,0.82,0.92,0
7、.92,1. 00,1.04,1.06,1.16,1.22,1.27,1.37,1.44,1.53,1.57, 2.05,2.51,2.63,2.74,2.82,3.24,3.24,3.61,4.10,4. 36,4.77,4.75,4.54,4.54,4.58,4.58,4.58,4.54; l=0.78,0.81,0.85,0.77,0.72,0.84,0.81,0.89,0.91,1. 00,1.05,1.08,1.18,1.22,1.17,1.30,1.39,1.47,1.31, 1.43,1.58,1.59,1.66,1.68,1.65,1.62,1.86,1.93,1. 96,1.
8、95,1.90,1.58,1.67,1.82,1.60,1.61,1.64;二：无约束优化的基本方法。介绍求解无约束优化模型的基本原理 和方法，将（1）重新写成：一般f为非线性函数，（8）式常称为无约束非线性规划 。 一般求f的极值点，是局部最优解，全部最优解只能从局 部最优解比较而得，所谓最优解均指局部最优解。1：最优解条件：必要条件：如果x=x*为（8）的最优解极 值点）f（x*）= 0 （9）（满足此式 的点称为驻点） 充分条件：（3）求驻点：对实际有意义的点，我们只需求f（x*）= 0 的点，即驻点即可。但f（x*）= 0 常是非线性方程组，难求 。需用数值算法。 2：求驻点的算法 ：
9、迭代法：3：迭代法求x*的方向选择不同导致的不同算法 。不考虑步长，不妨设：优缺点：初始阶段f下降较快，但在接近最优解x* 时下降变慢，（想想为什么？）三：MATLAB优化工具箱：1： MATLAB优化工具箱的主要功能：本节主要介绍fminu及leastsq的用法2: fminu及leastsq的基本用法: 例1：To MATLAB limin.m x,y=1.0e-009 *-0.3469 -0.3469 本题精确结果为x=y=0.例2：用下面一组数据拟合c(t)=r 的系数r,k.t 0.25 , 0.5 , 1 , 1.5, 2 , 3 , 4 , 6 , 8 c 19.21, 18.1
10、5 , 15.36, 14.10, 12.89, 9.32, 7.45, 5.24, 3.01 解：（1）建立ct.m文件计算函数值：（2）给r,k赋初值：x0=10,0.5;x=leastsq(ct,x0);toMATLAB ctmingl.m(3):输出结果： x=20.2413 -0.2420即 r= 20.2413 k=-0.24203:优化程序中控制参数options的设置：例：opt(1)=1表示有中间结果；opt(1)=0，缺省，表示无中间结果；opt(1)=-1表示给出警告信息。Opt(2),，opt(18). 其中fiminu的opt(6)=0（缺省）:拟牛顿法BFGS公式；
11、opt(6)=1:拟牛顿法DFP公式；opt(6)=2:最速下降法。（控制搜索方向） 其中fiminu的opt(7)=0 （缺省）:混合二次，三次多项式插值； opt(7)=1：三次插值。（控制步长的一维搜索）。 任务：用三种不同算法求f(x,y)= 的最优解，初始值选为(-1.9,2),比较算法的优劣。四：产销量模型和经济增长模型的求解。1：产销量模型的求解（1）：分析：（2）：编程计算：A:生成函数 to MATLAB canxiao.m赋初始值：x0=50,70;x=fminu(canxiao,x0);z=-canxiao(x)to MATLAB canxiaoml.m得到：x=23.9
12、025 62.4977z=6.4135e+003任务：自己编一个优化程序。并求解产销问题。2;经济增长模型：（1）待拟合系数记作c=(a,),计算如下：A: 定义函数to matlab pp1.mB:赋初始值：c(0)=1,1,1;C:计算c;D: 计算误差平方和y。to matlab pp1ml.m(2):结果：c=1.0316 0.3609 0.4398y=0.8241;即 ：Q=1.0316; =0.3609,=0.4398.(3): ,的意义：表示资本增加一个单位产值增长的相对值，称为产值对 资本的弹性系数； 表示劳动力增加一个单位产值增长的相对值，称为产值 对劳动力的弹性系数。五：任务：1：根据表1：美国人口数据：（1）：用非线性最小二乘法leastsq(fun,x0)拟合logistic 模型（2）：拟合x0 ,k,r,注意区别。 （3）：用线性最小二乘法拟合又有何结果？2:表2试根据此表拟合生产函数的参数。如何看待用线性最小 二乘法和非线性最小二乘法拟合的结果。3：求解：初值：（-1，1），对不同算法的结果进行分析比较。
