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1、第第 1 1 页页第五章 连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第第 2 2 页页5.1 拉普拉斯变换 从傅里叶变换到
2、拉普拉斯变换 收敛域 (单边)拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系第第 3 3 页页一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-t= 令s = + j,d =ds/j，有第第 4 4 页页定义双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双
3、边拉氏逆变换（或原函数）。 第第 5 5 页页二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。第第 6 6 页页例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。解 可见，对于因果信号，仅当 Res=时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。收敛域收敛边界第第 7 7 页页例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。解 可见，对于反因果信号，仅当 Res=时，其收敛域 为 2Res= ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 第第 1111 页页三、单
4、边拉氏变换简记为F(s)= f(t)f(t)=-1F(s) 或 f(t) F(s)第第 1212 页页四、常见函数的拉普拉斯变换1、(t) 1， -2、(t)或1 1/s ， 03、指数函数e-s0t -Res0cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j 第第 1313 页页5.2 拉普拉斯变换性质 线性性质 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分 时域积分 卷积定理 s域微分 s域积分 初值定理 终值定理第第 1414 页页一、线性性质若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(
5、t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 第第 1515 页页二、尺度变换若f(t) F(s) , Res0，且有实数a0 ， 则f(at) 证明：第第 1616 页页三、时移特性若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0 与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例1:求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=第第 1717 页页例2:已知f1(t) F1(s
6、),求f2(t) F2(s)解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)第第 1818 页页四、复频移（s域平移）特性若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 求e-tf(3t-2)的象函数。 解：e-tf(3t-2) 第第 1919 页页五、时域的微分特性（微分定理）若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-
7、) 推广：证明：第第 2020 页页六、时域积分特性（积分定理）证明： 第第 2121 页页例1: t2(t)? 第第 2222 页页七、卷积定理时域卷积定理若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（s域）卷积定理 第第 2323 页页八、s域微分和积分若f(t) F(s) , Res0, 则 例1：t2e-2t(t) ?e-2t(t) 1/(s+2) t2e-2t(t) 第第 2424 页页例2：第第 2525 页页九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(）， 而不必求出原函数f(t)初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数 则 终值定理 若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； 则 F(j)=1/( j+2)第第 5050 页页（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () + 1/j （3）0 0，F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变 换不存在。
