趋势时间序列模型

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1、引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值t，或非常数 的二阶矩，如非常方差t2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。第六章 趋势时间序列模型第六章 趋势时间序列模型第一节 非平稳时间序列模型的种类第二节 非平稳性的检验第三节 平稳化方法第三节 求和自回归滑动平均模型 (ARIMA)在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出 趋势性，即时间序列值随时间的变化呈现出

2、增加或减 少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支 配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增 大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立 模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法 ，这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制 ，都具有十分重要的意义。趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升 或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来 判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就 比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋 势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分 。时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前 者有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势

3、的序 列，往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序 列.第一节 非时间序列模型的种类一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程返回本节首页下一页上一页一、均值非平稳过程均值非平稳过程指随机过程的均值随均值函数的变化而变化。我们可以引进两种非常有用的均值非平稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。返回本节首页下一页上一页（一）确定趋势模型当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出t的具体形式， 然后对残差序列yt=xt t按平稳

4、过程进行分析和建模。（二）随机趋势模型随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型 。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先 对ARMA模型的性质作一回顾。可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。二、方差和自协方差非平稳过程一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程也可能是方差和自协方差非平稳过程。不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列 ，为了克服这个问题，我们需要适当进 行方差平稳化变换。 返回本节首页下一页上

5、一页这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOXCOX变换。其中为变换 参数。第二节 非平稳性的检验一、通过时间序列的趋势图来判断二、通过自相关函数(ACF)判断三、特征根检验法四、用非参数检验方法判断序列的平稳性五、随机游走的单位根检验返回本节首页下一页上一页一、通过时间序列的趋势图来判断这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。返回本节首页下一页上一页二、通过自相关函数(ACF)判断平稳时间序列的自相关函数(ACF

6、)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特 性来判断时间序列是否为平稳序列。若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而缓慢地下降。返回本节首页下一页上一页若序列无趋势，但是具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， )，并且随着时滞的增 加变得较小。 若序列是有趋势的，且具有季节性，其自 相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12 ，24，36，等处具有峰态；如果时间 序列数据是按季节的，则峰出

7、现在时滞4 ，8，12， 等处。三、特征根检验法（P146）返回本节首页下一页上一页根据拟合出的时序模型参数检验(P146)基本思想：时间序列模型的平稳性条件不仅 可以用特征根来表示，也可以用模型的自自回归参数回归参数表示，因此要检验一个序列是否 平稳，可以先拟合适应的模型，然后再根 据求出的自回归参数自回归参数来检验序列是否平稳 。检验方法：参见课本146四、用非参数检验方法判断序列的平稳性（一）什么是参数检验和非参数检验？参数检验：参数检验是这样一种检验，它 的模型对抽出研究样本的总体的分布作 了限制性假定。如果对总体的分布不知道或了解很少，则 参数检验方法就不可靠，甚至会发生较 大偏差。

8、 返回本节首页下一页上一页非参数检验：非参数检验是一种不依赖于总体分布知识的检验方法。由于非参数检验不对总体分布加以限制性假 定，所以它也称为自由分布检验。非参数检验与参数检验相比有如下优点：a.检验条件比较宽松，适应性强 。b.参数检验对样本容量的要求极低。c.检验方法灵活，用途更广泛。非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验 定距数据和定比数据，又可以检验定类数据和定序数据 ；而参数检验只能处理定距数据和定比数据。因为这些 优点，非参数检验比参数检验应用更广泛。d.非参数检验计算相对简单，易于理解。非参数检验的缺点：如果参数统计模型的所有假设在数据中事 实上都能满足，而且测量达到

9、了所要求 的水平(定距数据或定比数据)，那么用非参数检验就浪费了数据中的信息。也就 是说此时非参数检验的功效不如参数检 验高。(二)非参数检验方法在检验序列平稳性中的应用 1.游程检验方法(1)什么是游程一个游程定义为一个具有相同符号的连续 串，在它前后相接的是与其不同的符号 或完全无符号。例如，观察的结果用加、减标志表示，得 到一组这样的记录顺序：+-+-+-+这个样本的观察结果共有7个游程。（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性的基本思想如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随 机出现，因此它的游程数既不会太多，又不 会太少；反过来说如果符号序列的游程总数 太少或太多，我们就可以认为时

10、间序列存在 某种趋势性或周期性。(3)检验方法a.小样本情况零假设： H0：加号和减号以随机的方式出现检验方法：取显著性水平(一般取0.05),查单样本游程检验表，得出抽样分布的临 界值rL、rU判定：若rL rL 或r rU则拒绝零假设，序列是非平稳的。b.大样本情况零假设： H0：加号和减号以随机的方式出现检验方法：给定显著性水平(一般取0.05)查标准正态分布表，得出抽样分布的临界 值-z ,+z 。并计算统计量:判定：若-z z+z ,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设， 序列是非平稳的。（例见P151例6.5）非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行， 游程

11、检验可见操作。 实例：用游程检验S打开Runs对话框。 3.在源变量对话框中选择“stpoor”进入“Test Variable list”栏内 4.选中“cut point”栏中“mean”选项 5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。输出结果分析：因为P值（sig.）极小，所以拒绝零假设 ，故原序列是非平稳的。也可以通过其它的非参数检验方法来 判断序列是否平稳，如Spearman等级 相关系数，Kendall 相关系数等。五、随机游走的单位根检验(Unit root test)在第二章我们已经讲过，随机游走是一种 非平稳过程，其实随机游走一种特殊的齐次非平稳过程。 检验序列是否为随机游走，

12、通常利用David Dickey和Wayne Fuller的单位根检验。单位根的含义和检验原理如下：返回本节首页下一页上一页检验时：如果所计算的统计量的绝对值 (即|)大于DF分布表中临界值的绝对值， 则拒绝=0的假设，原序列是平稳的；否 则，如果它小于临界值，则时间序列是非 平稳的。注：Eviews输出结果中直接计算出了统计量及 其临界值。（所列出的是麦金农MacKinnon对DF 分布表扩充后的临界值）用Eviews进行单位根检验时给出了上述选项。1.单位根检验例可见操作。2.补充利用Eviews对ARMA模型向 多期预测内容。见Eviews操作。第三节 平稳化方法一 差分运算的实质二 差

13、分方式的选择三 过差分一 差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性 信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取 确定性信息 二 差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就 可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或 三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影 响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周 期长度的差分运算，通常可以较好地提 取周期信息 例1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作

14、用 差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例2尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分例3差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图一阶差分1阶12步差分三 过差分 足够多次的差分运算可以充分地提取原序 列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费 例4假设序列如下考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差 比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大第四节 ARIMA模型一 ARIMA模型结构二 ARIMA模型性质三 ARIMA模型建模四 ARIMA模型

15、预测一 ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构注意:由上式可知,ARIMA模型的实质就是 差分运算与ARMA模型的组合.这说明任何非平稳时间序列只要通过适当阶数的 差分实现差分后平稳,就可以对差分后序 列进行ARMA模型拟合了.ARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型( random walk)模型结构模型产生典故Karl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如

16、有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野 外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概 率最大呢？二 ARIMA模型的性质1 平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有 p+d个特征根，其中p个 在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时 ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性三 ARIMA模型建模步骤获 得 观 察 值 序 列平稳性 检验差分 运算YN白噪声 检验Y分 析 结 束N拟合 ARMA 模型例6对1952年1988年中国农业实际国民收 入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后