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1、主讲：童亮 内容提要-总纲第一章 控制系统导论第二章 控制系统的数学模型第三章 线性系统的时域分析法第四章 线性系统的根轨迹法第五章 线性系统的频域分析法2第六章 线性系统的校正方法内容提要-总纲第一章 控制系统导论第二章 控制系统的数学模型第三章 线性系统的时域分析法第四章 线性系统的根轨迹法第五章 线性系统的频域分析法3第六章 线性系统的校正方法 了解自动控制系统数学模型的概念 掌握自动控制系统数学模型的建立方法 掌握传递函数的定义和性质 掌握典型环节的传递函数 掌握用微分方程、传递函数、结构图和流程图表 征控制系统的基本方法 掌握各种模型表达形式之间的相互转换关系内容提要-章节内容4学习
2、目标第二章 控制系统的数学模型内容提要-章节内容52.1 控制系统的数学模型2.2 复习拉普拉斯变换2.3 控制系统的复数域数学模型2.4 控制系统的结构图与信号流图第二章 控制系统的数学模型2 控制系统的数学模型6 什么是数学模型l 工程、控制、数学三者的统一中学时的函数概念：在电路的学习中对函数概念的理解：自动控制系统对函数概念的理解：研究对象的复杂程度加深2 控制系统的数学模型7 什么是数学模型同样的x和y，在不同的课程学习中，思维方式发生了 变化：l中学时的函数是一个纯数学的概念l在电路和控制系统中增加了人的因素可以用数学的方法来解决工程中遇到的实际问题，可 以通过自动控制原理课程把数
3、学、工程、控制三者联 系统一起来2 控制系统的数学模型8 什么是数学模型弹簧： y(t) = K F(t)K为弹性系数，y(t)为位移，F(t)为外力数学模型 系统运动规律的数学描述，能够够 描述控制系统统输输出量和输输入量的关系实际物理系统理想化物理模型数学化数学模型线性化线性数学模型标准化标准数学模型2 控制系统的数学模型9 建立数学模型的方法l 分析法：根据系统内在运动规律及结构参数，按各变量间所遵循的 物理、化学定律列出数学关系，最终推导出系统输入量和 输出量之间的表达式，建立起系统的数学模型适用于已知系统内外部特性和运动规律的场合。l 实验法：在现场对控制系统加入特定的输入信号，采用
4、某些检测仪 器对系统的输出响应进行测量和分析，得到相关实验数据 ，从而建立系统的数学模型通常是在对系统结构和特点一无所知的情况下而采用2 控制系统的数学模型10 数学模型的分类l 微分方程（时间域）l 传递函数（复数域）l 动态结构图（各元件传函的连接关系）信号流图l 响应曲线（step、pulse）l 根轨迹图l 频率特性（bode图、nyquist图、nichols图）2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立11 建立微分方程数学模型的步骤：1. 确定输入量、输出量，并根据需要引进一些中间变量 2. 根据物理或化学定律，列出微分方程 3. 消去中间变量 4. 标准化书写，写出系统的输入输出
5、微分方程（输出项在 等号左端，输入项在等号右端，按方程的阶次降幂排列）i(t )LRui(t)Cuo(t)r(tr(t) )为为输入量输入量 c(tc(t) )为为输出量输出量12 电阻、电容、电感(补充)R+i(t)Li(t) +Ci(t) +电压-电流电流-电压2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立13【例】LRC无源网络，写出输入ui(t)与输出uO(t)之间的关系2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立i(t )LRui(t)Cuo(t)14【例】质量-弹簧阻尼系统，F为外力输入，位移x为输出，求输 入输出关于时间函数的描述。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立根据牛顿第二定律：
6、弹簧恢复力与位移成正比阻尼器阻力与运动速度成正比k 弹簧的弹性系数f 粘滞摩擦系数15【例】电枢控制直流电机，输入为ua，输出为m，求其关系。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立(1) 回路电压：(2) 电枢反电势：(3) 电磁转矩方程 ：(4) 电机轴上转矩平衡方程：Jm ：电机轴上总的转动惯量 fm ： 电机轴上总的粘性摩擦系数16【例】电枢控制直流电机，输入为ua，输出为m，求其关系。2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立忽略LaJm ：电机轴上总的转动惯量 fm ： 电机轴上总的粘性摩擦系数Tm :电机时间常数Kc :电机传递系数忽略Ra Jm17【例】减速器2.1 线性系统时域
7、模型-微分方程的建立两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同速比：齿数与半径成正比：以1为输入， 2为输出的微分方程 ：182.1 线性系统时域模型-微分方程的建立2.1 线性系统时域模型-微分方程的建立【例】速度控制系统，输入为ui，输出为，求传递关系。+uau2u1ui负负载载SMTGk1k2功放mutcR2R1R1R1R2运放1:运放2:功放:直流电机:齿轮系:测速发电机:Mc 负载扰动力矩消去ut u1 u2 ua m1920严严格地说线说线 性系统统在实际实际 中不存在，而非线线性系统统是普 遍存在的。弹簧：运算放大器：电阻：一定条件，一定适用范围线性系统：可用线性微分方程描述 ，符
8、合叠加原理，用自动控制理论 解决控制问题非线性系统： 非本质非线性：光滑连续可以局 部线性化2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化21定义：有条件（包括缩小研究范围）地把非线性的数学模 型化为线性模型来处理的方法意义：用线性控制理论来解决非线性问题的方法线性化条件:（1）系统有一个固定的工作点（2）系统正常工作时偏离工作点很小（3）给定的区间内，变量的各阶导数存在数学基础：泰勒级数，实现小范围线性化 非线性数学模型的线性化2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化22 单输入单输出对于非线性系统，输入x(t)，输出y = f(x)，给定工作点 y0=f(x0)处各 阶导数存在。
9、在y0=f(x0)附近展开成泰勒级数忽略二次以上各项，有几何涵义：用切线代替曲线，曲率越小，偏差取值范围越 大。2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化23 两个输入，一个输出输入x1(t)、 x2(t) ，输出y = f(x)，工作点 y0=f(x10 , x20)处展开成泰勒级数，并忽略二次项2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化24【例】将y=x2 在 x=2 处和 x=-1处线性化。2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化25l 只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数 是可以利用泰勒级数展开的l 实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附 近，且变量只能
10、在小范围内变化l 不同静态工作点得到的方程是不同的l 对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不 满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理l 线性化后得到的是增量微分方程 几点注意：2.1 线性系统时域模型-非线性数学模型的线性化262.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶变换与拉普拉斯变换用途：l 是工程实践中用来求解线性常微分 方程的简便工具l 是建立系统在复数域和频率域的数 学模型的数学基础272.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶级数 周期为T的任一周期函数f(t)，如果满足下面的狄里赫莱条 件： （1）在一个周期内有有限个间断点 （2）在一个周期内有有限个极值点 （3）绝对可积 则：其中：282
11、.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶级数的复数形式根据欧拉公式 ： 可得：（傅里叶级数的复数形式 ）其中：292.2 复习拉普拉斯变换 非正弦周期函数的展开非正弦周期函数:矩形波展开得：-11-tuO即 ：302.2 复习拉普拉斯变换312.2 复习拉普拉斯变换322.2 复习拉普拉斯变换332.2 复习拉普拉斯变换可以看出，不同频率的波可以合成方波342.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶积分l 周期函数只要满足狄氏条件，便可展开为傅里叶级数l 傅里叶级数展开说明了周期为T的函数仅包含离散的频率 成分，即可由一系列角频率0=2/T为间隔的离散频率所 形成的简谐波合成（求和）l 当T越来越大时，0越来越小
12、，当T趋于无穷大时，周期 函数就变成了非周期函数，其频谱将在w上连续取值l 非周期函数可以看成周期T趋于无穷大，而角频率0趋于 0的周期函数l 一个非周期函数将包含所有的频率成分，离散的求和就 变成了连续函数的积分352.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶积分 周期T很大时，各相邻谐波之差 =(n+1) 0 -n 0 =0很小 ，用替代n 0 ，有362.2 复习拉普拉斯变换 傅里叶变换令则傅里叶变换对372.2 复习拉普拉斯变换 拉普拉斯变换令s = +j382.2 复习拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的定义设函数 f(t)当 t 0 时有定义，设原函数象函数且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯
13、变换。简称拉氏变 换。其中s = +j。F(s)称为 f(t)的拉氏逆变换。记为：392.2 复习拉普拉斯变换 两个变换的理解l傅氏变换是的拉氏变换一个特殊情况，傅氏变换的条件苛 刻，但具有实际物理意义l是能进行傅氏变换的函数（或者是信号），一定能分解成 多种正弦函数（信号）的叠加l拉氏变换则通过乘上一个指数函数，降低了傅氏变换的要 求l虽然没有直接物理意义，但却能把微分方程变成代数方程 ，在没有电脑的时代，大大化简了微分方程的求解，逐渐 变成了一种计算方法402.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换(1) 单位阶跃函数l 阶跃函数01(t )t10f(t)tR412.2 复习拉普拉斯
14、变换 几个简单函数的拉氏变换(2) 单位斜坡函数0f(t)tl 斜坡函数0f(t)tR422.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换(3) 指数函数432.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换(4) 单位脉冲函数 l 脉冲函数(强度为A)442.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换(5)正弦 余弦函数452.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(1)线性性质(2)叠加性质462.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(3) 微分性质472.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(4)积分性质482.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(5) 时间平移(6) 复位移492.2
15、复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(7)初值定理(8) 终值定理条件： 在虚轴（除原点）及其右半平面上没有极点。502.2 复习拉普拉斯变换 拉氏变换的性质(9)实数卷积512.2 复习拉普拉斯变换例：求 f (t)=e-t sint 的拉氏变换复位移方法二：方法一：522.2 复习拉普拉斯变换 几个简单函数的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)1t532.2 复习拉普拉斯变换 常用拉氏变换2.3 控制系统的复数域数学模型54 线性系统的输入输出传递函数描述弹簧阻尼系统传递传递 函数线线性定常系统统在初始条件为为零的情况下， 输输出的拉氏变换变换 与输输入的拉氏变换变换 的比值值。等式两边同时作拉氏变换假设初始条件为零2.3 控制系统的复数域数学模型55 传递函数的特点：l 只有线性系统才有此概念l 传递函数与输入、输出无关，但可由输入、输出描述l 零初始条件（线性系统与初始条件无关）传递传递 函数线线性定常系统统在初始条件为为零的情况下， 输输出的拉氏变换变换 与输输入的拉氏变换变换 的比值值2.3 控制系统的复数域数学模型56 RLC网络i(t )LRui(t)Cuo(t)假设初始条件为零2.3 控制系统的复数域数学模型57l 弹簧阻尼系统l RLC网络相似系统 相似变量 相似系统与相似变量2.3 控制系统的复数域数学模型58 复数阻抗R+i(t )Li(t )
