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1、线性代数化 工 数 学（1） 习题课（2）.n线性代数第四章小结n1、向量组及其线性组合n（1）定义nn维向量：a=(a1, ,an)T；向量组：A：a1, ,am；n线性组合：k1a1+kmam；线性表示：b=k1a1,+kmamn（2）定理n定理2： b1, ,bl能由a1, ,am线性表示的充分必要条件：n R(A)=R(A,B)n推论 ： a1, ,am与b1, ,bl等价的充分必要条件是n R(A)=R(B)=R(A,B)n定理3：若b1, ,bl能由a1, ,am线性表示,则R(B)R(A)。n2、向量组的线性相关性n（1）线性相关、线性无关： k1a1+k1a1+kmam=0；n
2、（2）定理5：部分相关则全体相关，全体无关则部分无关； n+1个维向量必线性相关； a1,a2,am线性无关，而a1,a2,am,b线性相关，则b必能为a1,a2,am惟一线性表示。n3、向量组的秩n 最大无关组：向量组 A：a1, ,am中的一个部分组 A0：a1, ,ar 若满足：（i） a1, ,ar线性无关；（ii）向量组中任意r+1个向量都线性相关。则 a1, ,ar为向量组A：a1, ,am的一个最大无关组。但不惟一。n4、线性方程组的解的结构n（1）n元齐次线性方程组 Ax=0 n 设R(A)=r，则任意n-r个线性无关的解向量1,n-r均构成一个基础解系；通解形式：k11+kn
3、-rn-r (k1,kn-r不全为0）。n（2）n元非齐次线性方程组 Ax=bn 设R(A)=r ，*是Ax=b的一个解， 1,n-r是对应的Ax=0的一个基础解系，则Ax=b的通解形式：n =*+k11+kn-rn-r (k1,kn-r不全为0）n5、向量空间n（1）向量空间：若集合V非空，且若aV，bV，R，有abV，aV，即对加法和数乘封闭，则V为向量空间。n（2）向量空间的基、规范基、自然基n设V为向量空间，a1, ,arV，且满足（i） a1, ,ar线性无关；（ii）V中任一向量均可由 a1, ,ar 线性表示，则称a1, ,ar为向量空间V的一个基，V称为r维向量空间。n（3）基
4、变换公式和坐标变换公式n基变换公式：设a1,an与b1,bn为n维向量空间的两组基，且有n (b1,bn)=(a1,an)P （I）n（I）为由基a1,an到基b1,bn的基变换公式，P=A-1B称为过渡矩阵。n坐标变换公式：n （II）n(II)为由基a1,an到基b1,bn的坐标变换公式,P-1=B-1A是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式。n43 已知R(a1,a2,a3)=2， R(a2,a3,a4)=3，证明n（1） a1能由a2,a3线性表示；n（2） a4不能由a1,a2,a3线性表示。n证明：n（1）由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关，a2,a3线性无关， R(
5、a2,a3)=2，又由R(a1,a2,a3)=2，知R(a1,a2,a3)=R(a2,a3)=2 ，故a1,a2,a3线性相关，且a1可由a2,a3线性表示。线性代数第四章例习题选解n（2）反证法，设a4可由a1,a2,a3线性表示，由R(a2,a3,a4)=3 知 a2,a3,a4 线性无关，所以a2,a3线性无关，又由 R(a1,a2,a3)=2，知 a1,a2,a3 线性相关，a1可由 a2,a3 线性表示，故而a4可由 a2,a3 线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。所以， a4不能由a1,a2,a3线性表示。n410 设b1=a1,b2=a1+a2,br=a1+ar，且a1,
6、ar线性无关，证明向量组b1,br线性无关。n证明：由已知得n记B=AK，|K|=10， K可逆，A=BK-1， a1,ar与b1,br互为线性表示，即等价，R(a1,ar)=R(b1,br)， b1,br线性无关。n414 设a1,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,en能由它们线性表示，证明a1,an线性无关。n证明：n 任意n维向量组都能由e1,en线性表示，则向量组a1,an能由n维单位坐标向量线性表示，而由已知n维单位坐标向量e1,en能由a1,an线性表示，所以有R(a1,an)=R(e1,en)=n，从而， a1,an线性无关。n416 设向量组a1, ,am线性相关且
7、a10，证明存在某个向量ak(2km)，使ak能由a1, ,ak-1线性表示。n证明：反证法，即不存在满足条件的向量。n a1, ,am线性相关，有不全为零的k1, ,km使n k1a1+ kmam=0 （*）n成立，从am开始， am不满足条件， km=0；以此类推，得km=k2=0。 （*）式变成 k1a1=0 a10， k1=0 ，即k1=k2=km=0时，（*）式方成立。n而由线性相关性知a1, ,am线性无关，与题设矛盾，故命题成立。n417 设向量组B：b1, ,br能由向量组A：a1, ,as线性表示为n (b1, ,br)=(a1, ,as)Kn其中K为sr矩阵， A组线性无关
8、，证明B组线性无关的充分必要条件是R(K)=r。n证明：记 B=AK n必要性：B线性无关，则 R(B)=r ，而K为sr矩阵n r=R(B)=R(AK)R(K)r，故 R(K)=r。 n充分性：设R(K)=r，反证法，设B线性相关，则方程组Bx=0有非零解。将B=AK代入得 AKx=A(Kx)=0，因R(A)=s，则有Kx=0 ， 而R(K)=r，由定理知，x0，与x有非零解矛盾。 b1, ,br线性无关。n419 已知3阶矩阵A与3维向量x满足A3x=3Ax-A2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关。（1）记y=Ax,z=Ay,P=(x,y,z)，求3阶矩阵B，使AP=PB；（2）求|A|
9、。n解：（1）nR(P)=R(x,Ax,A2x)=3，P可逆。故有n（2） |A|=|PBP-1|=|P|B|P-1|=|B|=0。n420 求下列齐次线性方程组的基础解系n（3）n解：（3）系数矩阵A=(n,n-1,1),R(A)=1，则基础解系含有n-1个解向量。取x1,xn-1为自由未知变量，则基础解系为n421 设 ，求一个42矩阵B，使AB=0，且R(B)=2。n解： ， R(A)=2 。故方程Ax=0的基础解系中的向量个数为2，设为1,2。若令B=(1,2 )，则R(B)=2且满足AB=0。n得n424 设n阶矩阵A满足A2=A，E为单位矩阵，证明n R(A)+R(A-E)=nn证
10、明： A2=A A(A-E)=0 R(A)+R(A-E)n ，n而 R(A-E)=R(E-A)， R(A)+R(E-A)n ；n又有 nR(A)+R(E-A)R(A+(E-A)= R(E)=nn R(A)+R(A-E)=nn425 设A为n阶矩阵（n2），A*为A的伴随阵，证明n证明：n（1）当R(A)=n时，|A*|=|A|n-1，n R(A)=n|A|0 |A*|0 ，即R(A*)=n ；n（2）当R(A)n-2时，Aij=0 (i,j=1,2,n)，n A*=0，即R(A*)=0；n（3）当R(A)=n-1时，可知A至少有一个n-1阶子式不为0，故R(A*)1；又 |A|=0 ，由AA*
11、=|A|E=0可得 nR(A)+ R(A*)n ， R(A*)=1 。n426 求非齐次线性方程组的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系：n（1）n解：对增广矩阵B=(A,b)施以初等行变换n n r=R(A)=R(B)=3n=4，方程组有无穷多个解。 n原方程组的同解方程组为n n令x3=0得原方程组的特解 *=(-8,13,0,2)T；令x3=1得原方程组对应的齐次方程组的基础解系 =(-1,1,1,0)T，于是原方程组的通解为n427 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1，2，3是它的三个解向量，且n 1=(2,3,4,5)T，2+3=(1,2,3,4)Tn求该方程组的通
12、解。n解：记4元非齐次线性方程组为Ax=b，对应的齐次线性方程组为Ax=0， R(A)=3， Ax=0的基础解系中只含一个解向量，而=21-(2+3)=(3,4,5,6)T是Ax=0的解向量，故其也是Ax=0的基础解系。所以， Ax=b的通解为n431 设*是非齐方程组Ax=b的一个解，1,n-r是对应的齐方程组的一个基础解系。证明n（1） *,1,n-r线性无关；n（2） *,*+1,*+n-r线性无关。n证明：(1) 设有关系式 k0*+k11+kn-rn-r=0 （*）n用A左乘上式两端， 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，得nA(k0*+k11+kn-rn-r) = k0A*
13、+k1A1+kn-rAn-r =k0b= 0nb0， k0=0，（*）式变为k11+kn-rn-r=0 n 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，于是k1=k2=kn-r=0n由定义知*,1,n-r线性无关。n(2)设有关系式 n k0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)=0 （*）n用A左乘上式两端， 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，得n0=Ak0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)n =(k0+k1+kn-r)A*+k1A1+kn-rAn-r=(k0+k1+kn-r)bnb0，k0+k1+kn-r=0,(*)式变为k11+kn-rn-r=0 n 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系，于是k1=k2=kn-r=0 k0+k1+kn-r=k0=0，即当仅当k0=k1=k2=kn-r=0时，（*）式成立。n由定义知*,*+1,*+n-r线性无关。n434 设 ， ，问V1,V2是否是向量空间？为什么？n证明：n（1）设 ，显然 ，且n所以V1是向量空间。n（2）设 ，显然 ，而n所以V2不是向量空间。n线性代数第五章小结n1、向量的内积、长度及正交性n（1）内积与长度n两向量的内积：x,y=x1y1+xnynn向量的长度：n（2）正交性n 两向量正交：x,y=0； 正交向量组；n 规范正交基； 施密特正交化过程.n 正交矩阵与正交变换：称
