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1、线性代数化 工 数 学(1) 习题课(2).n线性代数第四章小结n1、向量组及其线性组合n(1)定义nn维向量:a=(a1, ,an)T;向量组:A:a1, ,am;n线性组合:k1a1+kmam;线性表示:b=k1a1,+kmamn(2)定理n定理2: b1, ,bl能由a1, ,am线性表示的充分必要条件:n R(A)=R(A,B)n推论 : a1, ,am与b1, ,bl等价的充分必要条件是n R(A)=R(B)=R(A,B)n定理3:若b1, ,bl能由a1, ,am线性表示,则R(B)R(A)。n2、向量组的线性相关性n(1)线性相关、线性无关: k1a1+k1a1+kmam=0;n
2、(2)定理5:部分相关则全体相关,全体无关则部分无关; n+1个维向量必线性相关; a1,a2,am线性无关,而a1,a2,am,b线性相关,则b必能为a1,a2,am惟一线性表示。n3、向量组的秩n 最大无关组:向量组 A:a1, ,am中的一个部分组 A0:a1, ,ar 若满足:(i) a1, ,ar线性无关;(ii)向量组中任意r+1个向量都线性相关。则 a1, ,ar为向量组A:a1, ,am的一个最大无关组。但不惟一。n4、线性方程组的解的结构n(1)n元齐次线性方程组 Ax=0 n 设R(A)=r,则任意n-r个线性无关的解向量1,n-r均构成一个基础解系;通解形式:k11+kn
3、-rn-r (k1,kn-r不全为0)。n(2)n元非齐次线性方程组 Ax=bn 设R(A)=r ,*是Ax=b的一个解, 1,n-r是对应的Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的通解形式:n =*+k11+kn-rn-r (k1,kn-r不全为0)n5、向量空间n(1)向量空间:若集合V非空,且若aV,bV,R,有abV,aV,即对加法和数乘封闭,则V为向量空间。n(2)向量空间的基、规范基、自然基n设V为向量空间,a1, ,arV,且满足(i) a1, ,ar线性无关;(ii)V中任一向量均可由 a1, ,ar 线性表示,则称a1, ,ar为向量空间V的一个基,V称为r维向量空间。n(3)基
4、变换公式和坐标变换公式n基变换公式:设a1,an与b1,bn为n维向量空间的两组基,且有n (b1,bn)=(a1,an)P (I)n(I)为由基a1,an到基b1,bn的基变换公式,P=A-1B称为过渡矩阵。n坐标变换公式:n (II)n(II)为由基a1,an到基b1,bn的坐标变换公式,P-1=B-1A是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式。n43 已知R(a1,a2,a3)=2, R(a2,a3,a4)=3,证明n(1) a1能由a2,a3线性表示;n(2) a4不能由a1,a2,a3线性表示。n证明:n(1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关,a2,a3线性无关, R(
5、a2,a3)=2,又由R(a1,a2,a3)=2,知R(a1,a2,a3)=R(a2,a3)=2 ,故a1,a2,a3线性相关,且a1可由a2,a3线性表示。线性代数第四章例习题选解n(2)反证法,设a4可由a1,a2,a3线性表示,由R(a2,a3,a4)=3 知 a2,a3,a4 线性无关,所以a2,a3线性无关,又由 R(a1,a2,a3)=2,知 a1,a2,a3 线性相关,a1可由 a2,a3 线性表示,故而a4可由 a2,a3 线性表示,这与a2,a3,a4线性无关矛盾。所以, a4不能由a1,a2,a3线性表示。n410 设b1=a1,b2=a1+a2,br=a1+ar,且a1,
6、ar线性无关,证明向量组b1,br线性无关。n证明:由已知得n记B=AK,|K|=10, K可逆,A=BK-1, a1,ar与b1,br互为线性表示,即等价,R(a1,ar)=R(b1,br), b1,br线性无关。n414 设a1,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,en能由它们线性表示,证明a1,an线性无关。n证明:n 任意n维向量组都能由e1,en线性表示,则向量组a1,an能由n维单位坐标向量线性表示,而由已知n维单位坐标向量e1,en能由a1,an线性表示,所以有R(a1,an)=R(e1,en)=n,从而, a1,an线性无关。n416 设向量组a1, ,am线性相关且
7、a10,证明存在某个向量ak(2km),使ak能由a1, ,ak-1线性表示。n证明:反证法,即不存在满足条件的向量。n a1, ,am线性相关,有不全为零的k1, ,km使n k1a1+ kmam=0 (*)n成立,从am开始, am不满足条件, km=0;以此类推,得km=k2=0。 (*)式变成 k1a1=0 a10, k1=0 ,即k1=k2=km=0时,(*)式方成立。n而由线性相关性知a1, ,am线性无关,与题设矛盾,故命题成立。n417 设向量组B:b1, ,br能由向量组A:a1, ,as线性表示为n (b1, ,br)=(a1, ,as)Kn其中K为sr矩阵, A组线性无关
8、,证明B组线性无关的充分必要条件是R(K)=r。n证明:记 B=AK n必要性:B线性无关,则 R(B)=r ,而K为sr矩阵n r=R(B)=R(AK)R(K)r,故 R(K)=r。 n充分性:设R(K)=r,反证法,设B线性相关,则方程组Bx=0有非零解。将B=AK代入得 AKx=A(Kx)=0,因R(A)=s,则有Kx=0 , 而R(K)=r,由定理知,x0,与x有非零解矛盾。 b1, ,br线性无关。n419 已知3阶矩阵A与3维向量x满足A3x=3Ax-A2x,且向量组x,Ax,A2x线性无关。(1)记y=Ax,z=Ay,P=(x,y,z),求3阶矩阵B,使AP=PB;(2)求|A|
9、。n解:(1)nR(P)=R(x,Ax,A2x)=3,P可逆。故有n(2) |A|=|PBP-1|=|P|B|P-1|=|B|=0。n420 求下列齐次线性方程组的基础解系n(3)n解:(3)系数矩阵A=(n,n-1,1),R(A)=1,则基础解系含有n-1个解向量。取x1,xn-1为自由未知变量,则基础解系为n421 设 ,求一个42矩阵B,使AB=0,且R(B)=2。n解: , R(A)=2 。故方程Ax=0的基础解系中的向量个数为2,设为1,2。若令B=(1,2 ),则R(B)=2且满足AB=0。n得n424 设n阶矩阵A满足A2=A,E为单位矩阵,证明n R(A)+R(A-E)=nn证
10、明: A2=A A(A-E)=0 R(A)+R(A-E)n ,n而 R(A-E)=R(E-A), R(A)+R(E-A)n ;n又有 nR(A)+R(E-A)R(A+(E-A)= R(E)=nn R(A)+R(A-E)=nn425 设A为n阶矩阵(n2),A*为A的伴随阵,证明n证明:n(1)当R(A)=n时,|A*|=|A|n-1,n R(A)=n|A|0 |A*|0 ,即R(A*)=n ;n(2)当R(A)n-2时,Aij=0 (i,j=1,2,n),n A*=0,即R(A*)=0;n(3)当R(A)=n-1时,可知A至少有一个n-1阶子式不为0,故R(A*)1;又 |A|=0 ,由AA*
11、=|A|E=0可得 nR(A)+ R(A*)n , R(A*)=1 。n426 求非齐次线性方程组的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系:n(1)n解:对增广矩阵B=(A,b)施以初等行变换n n r=R(A)=R(B)=3n=4,方程组有无穷多个解。 n原方程组的同解方程组为n n令x3=0得原方程组的特解 *=(-8,13,0,2)T;令x3=1得原方程组对应的齐次方程组的基础解系 =(-1,1,1,0)T,于是原方程组的通解为n427 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 1,2,3是它的三个解向量,且n 1=(2,3,4,5)T,2+3=(1,2,3,4)Tn求该方程组的通
12、解。n解:记4元非齐次线性方程组为Ax=b,对应的齐次线性方程组为Ax=0, R(A)=3, Ax=0的基础解系中只含一个解向量,而=21-(2+3)=(3,4,5,6)T是Ax=0的解向量,故其也是Ax=0的基础解系。所以, Ax=b的通解为n431 设*是非齐方程组Ax=b的一个解,1,n-r是对应的齐方程组的一个基础解系。证明n(1) *,1,n-r线性无关;n(2) *,*+1,*+n-r线性无关。n证明:(1) 设有关系式 k0*+k11+kn-rn-r=0 (*)n用A左乘上式两端, 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系,得nA(k0*+k11+kn-rn-r) = k0A*
13、+k1A1+kn-rAn-r =k0b= 0nb0, k0=0,(*)式变为k11+kn-rn-r=0 n 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系,于是k1=k2=kn-r=0n由定义知*,1,n-r线性无关。n(2)设有关系式 n k0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)=0 (*)n用A左乘上式两端, 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系,得n0=Ak0*+k1(*+1)+kn-r(*+n-r)n =(k0+k1+kn-r)A*+k1A1+kn-rAn-r=(k0+k1+kn-r)bnb0,k0+k1+kn-r=0,(*)式变为k11+kn-rn-r=0 n 1,n-r是对应的齐次方程组的一个基础解系,于是k1=k2=kn-r=0 k0+k1+kn-r=k0=0,即当仅当k0=k1=k2=kn-r=0时,(*)式成立。n由定义知*,*+1,*+n-r线性无关。n434 设 , ,问V1,V2是否是向量空间?为什么?n证明:n(1)设 ,显然 ,且n所以V1是向量空间。n(2)设 ,显然 ,而n所以V2不是向量空间。n线性代数第五章小结n1、向量的内积、长度及正交性n(1)内积与长度n两向量的内积:x,y=x1y1+xnynn向量的长度:n(2)正交性n 两向量正交:x,y=0; 正交向量组;n 规范正交基; 施密特正交化过程.n 正交矩阵与正交变换:称