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1、高等数学练习测试题库及答案一选择题1.函数 y=112x是（）A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设 f(sin2x)=cosx+1,则 f(x)为（）A 2x22 B 22x2C 1x2D 1x23下列数列为单调递增数列的有（）A0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B23， 32， 45， 54Cf(n), 其中 f(n)= 为偶数，为奇数nnnnnn1,1D. nn212 4.数列有界是数列收敛的（） A充分条件B. 必要条件 C.充要条件D 既非充分也非必要 5下列命题正确的是（） A发散数列必无界B两无界数列之和必无界 C两发散数列之和必发散D两收敛数列之和必收敛
2、61) 1sin(lim21xxx（）A.1 B.0 C.2 D.1/2 7设xxxk)1(lime6则 k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当 x1 时，下列与无穷小（ x-1）等价的无穷小是（）A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2D.sin(x-1) 9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（） A.必要条件B.充分条件 C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|2）有210210226021 arcsin 112111111x xdxxdxxxnn即，210)2( ,6121n xdxn3设)(xf，g(x) 区间)0(,aaa上连续，
3、 g(x)为偶函数，且)(xf满足条件。为常数 )()()(AAxfxf证明：aaadxxgAdxxgxf 0)()()(证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxfaaaa00)()()()()()(dxxgxfduugufuxdxxgxfaaa000 )()()()()()(令aaaaaadxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf 0000)()()()()()()()()()(4设 n 为正整数，证明2020cos21sincosxdxxdxxnnnn证明：令 t=2x,有0120201s i n 212)2( s i n 21s i nc o st d txdxx d
4、 xxn nn nnn,s i ns i n212201t d tt d tnnn又，022 0 2sin)(sinsinududuuuttdtnnn，所以，2202020201s21si21)sisi(21sincosxtdtdtdxdxxn nn nnn nnn又，20022coscos2sinxdxtdttxxdxnnn因此，2020cos21sincosxdxxdxxnnnn5 设)(t是 正 值 连 续 函 数 ，),0(,)()(aaxadtttxxfaa则 曲 线)(xfy在aa,上是凹的。证明：xaaxdttxtdtttxxf)()()()()(xaaxxaxadttxdttt
5、dtttdttx)()()()(xaxaxaaxdttdttdttdttxf)()()()()(0)(2)()()(xxxxf故，曲线)(xfy在aa,上是凹的。6.证明：1112211xx xdxxdx证明：111111122221211)1(1111xxxxuxxdxududuu uxdx令7设)(xf是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则TaaTdxxfdxxf 0)()(证明：aaaTxfxfTxfTuxTaTdxxfdxTxfduTufdxxf000)()()()()()()(为周期以令0)()(0TaTadxxfdxxf在等式两端各加T dxxf0)(，于是
6、得TaaT dxxfdxxf0)()(8若)(xf是连续函数，则xxu duufuxdudttf 000)()()(证明：xuxu duuufxdttfududttf0000)(0)()(xx duuufdttfx 00)()(x duufux 0)()(9设)(xf，)(xg在ba,上连续，证明至少存在一个),(ba使得ab dxxfgdxxgf)()()()(证明：作辅助函数xabxdttgdttfxF)()()(，由于)(xf,)(xg在ba,上连续，所以)(xF在ba,上连续，在（a,b）内可导，并有0)()(bFaF由洛尔定理),(, 0)(baF即xbxxaxxxabxxgdttf
7、dttgxfdttgdttf)()()()()()(badxxfgdxxgf)()()()(0 亦即， abdxxfgdxxgf)()()()(10设)(xf在ba,上连续，证明：babadxxfabdxxf)()()(22证明：令xaxadttfaxdttfxF)()()()(22xadtxftfxF0)()()(2故)(xf是ba,上的减函数，又0)(aF，0)()(aFbF故babadxxfabdxxf)()()(2211设)(xf在ba,上可导，且Mxf)(，0)(af证明：baabMdxxf2)(2)(证明：由题设对,bax可知)(xf在ba,上满足拉氏微分中值定理，于是有xaaxfafxfxf,),)()()()(又Mxf)(，因而，)()(axMxf由定积分比较定理，有babaabMdxaxMdxxf2)(2)()(
