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1、1第二讲 方程的图形法 迭代法直接法第二讲 方程及方程组解法(下)内容：本讲主要讲解方程(组)求解的MATAB直接解法，补充三种迭代数列图示方法 目的：掌握MATLAB方程（组）求解的相关函数 要求：能够处理带应用背景的方程问题 MATLAB软件直接求解函数：solve fsolve fzero roots迭代数列图示法：线性联结图 蛛网图 费根鲍姆图 迭代的复杂行为：分岔 倍周期 混沌2第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：solve利用MATLAB内置函数，我们可以直接对一些方 程或方程组进行求解，免去书写代码的时间，优点 是快速高效，缺点是缺乏自编函数的灵活性v so
2、lve 对单变量方程f(x)=0求解(解析解) ： 例1 求解方程 ax2+bx+c=0 x=solve(a*x2+b*x+c) 或者 x=solve(a*x2+b*x+c=0) pretty(x)3第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：solvev solve 对单变量方程f(x)=0求解(数值解) ： 例2 求解方程x3-2x2=x-1 x=solve(x3-2*x2=x-1) double(x) %实值化处理 fplot(x3-2*x2-x+1,-5,5); set(findobj(gca,type,line,color,b),linewidth,2); %加粗 ho
3、ld on; grid on; axis(-1 3 -10 10); line(-5 5,0 0,color,r,linewidth,2); %作x轴 v solve 对单变量方程f(x)=0求解(无穷解?) ： 例3 求解方程tan(x)=sin(x) x=solve(tan(x)=sin(x) fplot( tan(x)-sin(x) ,-10*pi,10*pi); set(findobj(gca,type,line,color,b),linewidth,2); %加粗 hold on; grid on; line(-40 40,0 0,color,r,linewidth,2); %作x轴
4、4第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：solvev solve 对多变量方程fn(xn)=0求解(解析解)： 例4 求解方程组 x2y2=0 x-1/2y=b s=solve(x2*y2,x-y/2=b); s.x, s.y %输出结果整理v solve 对多变量方程f(xn)=0求解(数值解)： 例5 求解方程组 x2y2-2x-1=0 x2-y2-1=0 s=solve(x2*y2-2*x-1,x2-y2-1=0); xy=s.x, s.y, double(xy)%输出结果整理+数值化 ezplot(x2*y2-2*x-1); hold on; set(findobj
5、(gca,type,line,color,b), color,r); %改色 ezplot(x2-y2-1); grid on; set(findobj(type,line), linewidth,2); %加粗注意: 须小心使用solve，实际中最好结合多种方法5第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：fsolvefsolve 对非线性方程组的求解（以下为标准语法）例6 求解非线性方程组 解法1: 直接用solve函数求解 s=solve(sin(x)+y2+log(z)-7,3*x+2y-z3+1,x+y+z-5); s.x,s.y,s.z6第二讲 方程的图形法 迭代法直
6、接法方程(组)直接求解函数：fsolve解法2写法1: 编写被调函数，供fsolve调用求解 Step1：编写独立被调函数 nxxf.mfunction eq=nxxf(x) eq(1)= sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7; eq(2)= 3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1; eq(3)= x(1)+x(2)+x(3)-5;Step2：执行主调语句fsolve y=fsolve(nxxf,1,1,1,1) %此句为主调语句，直接执行 1,1,1为初值，1为中间结果输出开关(1为打开)7第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：fsolve补充两种fsol
7、ve被调函数的写法方法一：内联函数形式 求解方程3x-exp(x)=0 fun=inline(1/3*exp(x)-x); ezplot(fun); grid on; y=fsolve(fun,1,1)方法二：符号表达式形式 求解方程组 x2+y2=5；xy-3x+y=1 ezplot(x2+y2-5); hold on; ezplot(x*y-3*x+y-1); grid on; warning off fsolve(x(1)2+x(2)2-5,x(1)*x(2)-3*x(1)+x(2)-1,1,2) fsolve(x(1)2+x(2)2-5,x(1)*x(2)-3*x(1)+x(2)-1,
8、-0.6,-2.1)8第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程(组)直接求解函数：fsolve解法2写法2: 输入符号表达式，输入fsolve求解 warning off; %关掉警告开关 eq1=sin(x(1)+x(2)2+log(x(3)-7,; eq2=3*x(1)+2x(2)-x(3)3+1; eq3=,x(1)+x(2)+x(3)-5; fsolve(eq1,eq2,eq3,1,1,1) %注意方程需要追加的符号9第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程直接求解函数：fzero针对一元函数方程，求零点 fzero例7 求解方程：x=(cosx)2 x=fzero(x-(cos(x)2,
9、1)例8 求解方程：xsinx=1 在0,5内的所有根 fplot(x*sin(x)-1,0,5)grid onx1=fzero(x*sin(x)-1,1)x2=fzero(x*sin(x)-1,3)10第二讲 方程的图形法 迭代法直接法方程直接求解函数： roots专用于多项式方程求解 roots例9 求解多项式方程x9+x8+1=0p=1,1,0,0,0,0,0,0,0,1; poly2str(p,x) %将数组形式2字符形式 x=roots(p) fplot(x9+x8+1,-3,3) grid on axis(-2 2 -100 100)复平面范围的根，在二维实平面上不能表现 注意：缺
10、位系数以0补足！11第二讲 方程的图形法 迭代法直接法第3章(补充)收敛与混沌 ( chaos )迭代(尤其是非线性迭代)序列的渐近行为除了 收敛和发散外，还可能存在十分复杂和古怪的现象 ，例如分岔、倍周期和混沌。近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使 可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预 测。如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对 流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生 所谓的蝴蝶效应( ButterflyEffect )。20世纪三大自然科学理论：相对论，量子力学 和混沌理论(分形等.)。“相对论消除了绝对空 间和时间的幻想；量子力学消除了关于可控测量过 程的
11、牛顿式的幻想；而混沌则消除了拉普拉斯关于 决定论式可预测的幻想” 12第二讲 方程的图形法 迭代法直接法混沌现象的最佳注解-蝴蝶效应蝴蝶效应的概念，最先由美国气象学家洛伦 兹于1963年提出：“一只南美洲亚马逊河流域热带 雨林中蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后 引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一 阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。但 是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况 ，经过长期及完整分析之后，或能从中理出某种规 则出来。混沌现象最先用于 解释自然界，但在人文及社会 领域中因为事物之间相互牵引 ，混沌现象尤为多见。如股票 市场的起
12、伏，谣言引起连锁反应。 13第二讲 方程的图形法 迭代法直接法混沌现象的最佳注解-蝴蝶效应混沌系统对无限小的初值变动或扰动也具于高 度敏感性，无论多么小的扰动在长时间以后，也可 能会使系统彻底偏离原来的演化方向。14第二讲 方程的图形法 迭代法直接法分形(Fractal)部分与整体的相似1967年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在美国 权威的科学杂志上发表了题为英国的海岸线 有多长?的著名论文，随后提出了分形(Fractal)的 概念。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的 重要原则。事实上,具有自相似性的形态广泛存在 于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的 断裂口、植物的叶子
13、.15第二讲 方程的图形法 迭代法直接法分形几何学又称大自然几何学16第二讲 方程的图形法 迭代法直接法迭代数列图示法-线性联结图线性联结图：联结相邻迭代数列的折线形成的图形 作用：揭示迭代无穷远处的变化模式(敛散,周期.) 范例：xn+1= a xn ( 1 - xn ), n=0,1,2., x0=0.2, a0,4 x(1)=0.20; a=3.2000; %初值0.2，系数3.2000 for n=2:1000, x(n)=a*x(n-1)*(1-x(n-1); end; figure; plot(x);x(1)=0.20; a=3.5644; %初值0.2，系数3.5644 for
14、n=2:1000, x(n)=a*x(n-1)*(1-x(n-1); end; figure; plot(x);x(1)=0.20; a=3.8284; %初值0.2，系数3.8284 for n=2:1000, x(n)=a*x(n-1)*(1-x(n-1); end; figure; plot(x);linlink(0.20,3.5000,800,1000); linlink(0.16,3.5000,120,1200); linlink(0.79,3.8284,451,1000);17第二讲 方程的图形法 迭代法直接法迭代数列图示法-线性联结图线性联结图：联结相邻迭代数列的折线形成的图形
15、作用：揭示迭代无穷远处的变化模式(敛散,周期.)18第二讲 方程的图形法 迭代法直接法迭代数列图示法-蛛网图蛛网图：联结xn+1与f(xn)的折线形成的图形 作用：揭示迭代无穷远处的变化模式(敛散,周期.) 范例：xn+1= a xn ( 1 - xn ), n=0,1,2., x0=0.2, a0,4 x(1)=0.2; a=3.5644; funstr=strrep(a*x*(1-x),a,num2str(a); %以上语句初始化迭代格式 cmdstr=x(n)=,strrep(funstr,x,x(n-1),; for n=2:10000, eval(cmdstr); end; ezplot(x,-0.2,1.2); hold on; ezplot(funstr,-0.2,1.2); xlabel(x); ylabel(funstr); %以上语句产生迭代序列，并绘制蛛网图函数图像 for n=1:500, plot(x(n),x(
