《2018年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质讲义 新人教版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018年八年级数学上册 暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质讲义 新人教版(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、34第六讲第六讲角平分线的性质角平分线的性质教学目标:1.学会用尺规作图,作一个角等于已知角,作已知角的角平分线2.能利用角平分线的性质解决简单问题3.角平分线的性质及判定定理的运用重点难点:1.角平分线的性质的运用与逆用。2.利用角平分线构造全等三角形。3.继续学习证明及综合法证明的格式。知识导航:1.角平分线的画法A AM M C CO O N N B B(1)已知AOB,求作AOB 的角平分线:以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于 M,交 OB 于 N。分别以 M,N 为圆心,以大于 12MN 长为半径作弧,在AOB 的内部两弧交于点 C。过 O、C 两点作射线 OC,射线 O
2、C 就是所求角的角平分线。2角平分线的性质及判定(1)角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。(2)角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。3三角形的角平分线的性质(1)三角形的三条角平分线交于一点,这点到三边的距离相等。(2)三角形两个外角的角平分线也交于一点,这点到三边所在的直线的距离相等。(3)三角形外角平分线交点共有三个,所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。考考点点/ /易易错点错点 1角平分线是一种对称模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线;2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成
3、等腰三角形;353 OA=OB,这种对称的图形应用得也较为普遍。典型例题:【例例 1】尺规作图:请在图上作一个AOC,使其是已知AOB 的 32倍 (要求:写出已知、求作,保留作图痕迹,在所作图中标上必要的字母,不写作法和结论)已知: 求作:【答答案案】已知: AOB 求作: AOC ,使 AOC 3 2AOB 作图如右上所示:【解解析析】首先画出AOB 的角平分线,再以 OB 为边,画BOC=BOF【例例 2】如图,在 RtABC 中,C=90 ,BD 平分ABC 交 AC 于点 D,DEAB 于 E,若 AC=3cm,则 AD+DE 为()A 3cmB 4cmC 2cmD 无法确定【答答案
4、案】A【解解析析】 BD 平分ABC, C=90,DEAB, DE=DC, AD+DE=AD+DC=AC, AC=3cm, AD+DE=3cm【例例 3】如图,已知四边形 ABCD 中,ADBC,若DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E,连接 BE,且 BE 恰好平 分ABC,则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是()A ABAD+BCB ABAD+BCC AB=AD+BCD 无法确定【答答案案】C【解解析析】解法 1:在 AB 上截取 AF=AD,连接 EF,易证 AEBE, ADEAFE(SAS) ,所以1=2,又2+4=90,1+3=90,所以3=4,所以可证 BCEBFE,所以
5、BC=BF,所以 AB=AF+BF=AD+BC;解法 2:如图,延长 AE 交 BC 延长线于 F,ADCB,CBA+BAD=180,BE 平分CBA,AE 平分 BAD, EBA+BAE=90, BEA=18090=90, BEAF, 由 ABEFBE(ASA) , 可得 BA=BF,AE=FE,于是可证 ADEFCE(ASA) ,所以 AD=CF,所以 AB=BC+CF=BC+AD【例例 4】如图,在ABC 中,C=90 ,AC=14,BD 平分ABC,交 AC 于 D,AD=10,则点 D 到 AB 的距离 为 ()A10B4C7D6【答答案案】B【解解析析】解:如图,过点 D 作 DE
6、AB 于 E,AC=14,AD=10,CD=ACAD=1410=4,BD 平分ABC,C=90,DE=CD=4【例例 5】如图,在ABC 中,AC=CB,C=90,AD 是BAC 的平分线,E=90,那么 AD 与 BE 的长度 关系为 。【答答案案】AD=2BE【解解析析】理由是:延长 AC,BE 交于 O,C=AEB=90,CDA=EDB,由三角形内角和定理得:1=3,ACD=BCO=90,1 3 在ACD 和BCO 中, AC BC ACD BCO,ACDBCO(ASA) ,AD=BO,AD 平分CAB,1=2,AEB=AEO=90,1 2 在AEO 和AEB 中, AE AE AEO
7、AEB,AEOAEB(ASA) ,OE=BE,BO=2BE,AD=2BE,【例例 6】为了加快灾后重建的步伐,我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂 石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址()A 仅有一处 B 有四处C 有七处 D 有无数处【答答案案】 A【解析解析】利用角平分线性质定理:角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上,所以是三个内角平分线的交点一个,外角的平分线的交点三个满足条件的点有一 个,三角形内部:三个内角平分线交点一个三角形外部,外角的角平分线三个(不合题意) 课堂检测:1. 下列结论错误的是()
8、 A到已知角两边距离相等的点在同一直线上 B一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角 C到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角D角内有两点各自到角的两边的距离相等,经过这两点的直线平分这个角2.如图,AOB 和一条定长线段 a,在AOB 内找一点 P,使 P 到 OA,OB 的距离都等于 a,作法如下:(1)作 OB 的垂线段 NH,使 NH=a,H 为垂足(2)过 N 作 NMOB(3)作AOB 的平分线 OP,与 NM 交于 P(4)点 P 即为所求 其中(3)的依据是()A 平行线之间的距离处处相等B 到角的两边距离相等的点在角的平分线上C 角的平分线上的
9、点到角的两边的距离相等D 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 3.如图, ABC 的三边 AB,BC,CA 长分别是 20,30,40,其三条角平分线将 ABC 分为三个三角形,则 S ABO:S BCO:S CAO 等于()A1:1:1B1:2:3C2:3:4D3:4:54. 如图,AD、AE 分别是ABC 中A 内角的平分线和外角平分线,则DAE= 度5.已知线段 a 和直角:(1)用尺规作 ABC,使得C=,BC=a,AB=2a(保留作图痕迹,不写画法) ;(2)用尺规作 ABC 的中线 CD 和角平分线 CE(保留作图痕迹,不写画法) ;课后作业:1.如图,已知点 P 到
10、 AE、AD、BC 的距离相等,下列说法:点 P 在BAC 的平分 线上; 点 P 在CBE 的平分线上; 点 P 在BCD 的平分线上; 点 P 在BAC,CBE,BCD 的平分线的交点上其中正确的是( )A B C D2.两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线 c 的距离是 2cm,则 a、b 之间 的距离是( )A3cm B4cm C5cm D6cm3.如图,AD 是 ABC 的角平分线,若 AB=10,AC=8,则 S ABD:S ADC=( )A1:1 B4:5C5:4 D16:25 4.已知 ABCD,ADDC,AEBC 于点 E,DAC=35,
11、AD=AE,B 为()A50 B60C70 D805如图,G 是线段 AB 上一点,AC 和 DG 相交于点 E请先作出ABC 的平分线 BF,交 AC 于点 F; (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)然后证明当: ADBC,AD=BC,ABC=2ADG 时,DE=BF6.如图,OP 是AOB 的平分线,请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形请你参考 这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图,在ABC 中,ACB 是直角,B=60,AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线,AD、CE相交于点 F请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系; (2)如图,在ABC 中,如果ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由7.如图, ABC 中,D 为 BC 的中点,DEBC 交BAC 的平分线 AE 于点 E,EFAB 于 F,EGAG 交 AC的延长线于 G求证:BF=CG8.如图,在 ABC 中,ACB=90,CEAB 于点 E,点 D 是 AB 上一点,且 AD=AC,作 DGBC,DG 交AC 于点 G,交 CE 于点 F,求证: (1)AF 平分CAB; (2)FC=FD(本文来自微传网:)