概率的定义与性质

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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1 1页页直观定义 事件A 出现的可能性大小.统计定义 事件A 在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概 率.古典定义；几何定义.第二节 概率的定义及性质第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2 2页页非负性： P(A)0;正则性： P()=1;可列可加性：若A1, A2, , An 互不相容，则一、概率的公理化定义第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3 3页页从 n 个元素中任取 r 个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列：二、排列与组合公式第一章第一章 随

2、机事件与概率随机事件与概率第第4 4页页 组 合组合： 重复组合：第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第5 5页页求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第6 6页页加法原理完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种 不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法 ，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.第一章第

3、一章 随机事件与概率随机事件与概率第第7 7页页 随机试验可大量重复进行.三、确定概率的频率方法进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，称 为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第8 8页页古典概型 若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有限 个，即=1，2，n；(2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等 的，即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:P(A) = A中样本点的个

4、数 / 样本点总数（一）确定概率的古典方法第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第9 9页页抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正), (反正正), (正反正), (正正 反),(正反反), (反正反), (反反正), (反反反 ) 此样本空间中的样本点等可能.2=(三正), (二正一反), (二反一正), (三 反)此样本空间中的样本点不等可能. 注 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1010页页n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的 概率. 解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A) = 2/(n-1)。例1第一章第一章

5、随机事件与概率随机事件与概率第第1111页页n个人坐成一排，求甲、乙两人相 邻而坐的概率.(注意：请与上一题 作比较) 解：1) 先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能.2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：例2第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1212页页 （二）确定概率的几何方法几何概型若 可度量性可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S； 等可能性等可能性。落在中的任一子区域A的概率 ，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位 置

6、无关则事件A的概率为: P(A)= SA /S第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1313页页 几何概型的例子 例3 蒲丰投针问题平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1414页页解： 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角.易知样本空间满足： 0 x d/2; 0 .形成x-平面上的一个矩形，其面积 为：S = (d /2). 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1515页页A = “针与平行线相交” 的充要条件是:0 0x ( l sin /2)

7、针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方 法求解得第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1616页页 由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线 相交的概率为: 2l/d. 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平 行线相交，则频率为: n/N. 用频率代替概率得： 2lN/(dn). 历史上有一些实验数据. 的随机模拟第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1717页页性质1 P()=0.注意: 逆不一定成立（反例在后面介绍）. 四、概率的性质第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1818页页（一）概率的可加性性质2 (有限可加性) 若AB=，则 P(AB) = P(A)+P

8、(B).可推广到 n 个互不相容事件.性质3 (对立事件公式)P( )=1P(A). 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第1919页页性质4 若AB，则 P(AB) = P(A)P(B)；若AB，则 P(A) P(B).性质5 P(AB) = P(A)P(AB).（二）概率的单调性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2020页页P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC)+P(AB C)五、概率的加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2121页页AB=，P(A)=0.6，P(AB

9、)=0.8，求 B 的对立事件的概率。解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)例4得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，所以 P( ) = 10.2 = 0.8.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2222页页例5解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB) 由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) = 0.4+0.30.6=0.1所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB). 第一章第一章 随

10、机事件与概率随机事件与概率第第2323页页例6解：因为A、B、C 都不出现的概率为= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)= 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15/12 = 7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2424页页在1500个产品中有400个次品， 1100个正品，任取200个，问至少有 2个次品的概率？利用对立事件注：当一些事件由很多基本事件构成， 并且逆事件所对应基本事件较少的时候第一章第一

11、章 随机事件与概率随机事件与概率第第2525页页例7解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2626页页例8从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子 中至少由2只配成一双的概率时多少？第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2727页页从 1, 2, , 9中返回取n次，求取出的n 个数的乘积能被10整除的概率.六、利用对立事件和加法公式解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。 因此所求概率为 P(AB). 利用对立事件

12、公式、德莫根公式和加法公式第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2828页页N 个产品，其中M个不合格品、NM个合 格品. (口袋中有M 个白球， NM 个黑球)七、常见模型(1) 不返回抽样从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格 品的概率为：此模型又称 超几何模型. n N, m M, nmNM.第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第2929页页 N 个产品，其中M个不合格品、NM个 合格品.从中有返回地任取n 个. 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：七、常见模型(2) 返回抽样条件： m n , 即 m = 0, 1, 2, , n.第一章第一章 随

13、机事件与概率随机事件与概率第第3030页页n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 (nN) 七、常见模型(3) 盒子模型第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3131页页 求n 个人中至少有两人生日相同的概率. 看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相 同) 用盒子模型得：pn= P(至少两人生日相 同)=生日问题p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3232页页 因为概率是事件(集合

14、)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限” . 本节给出可列可加性的充要条件.八、概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3333页页 若事件序列Fn满足：F1 F2 Fn 则称Fn为单调不减事件序列，其极限事件为（一）事件序列的极限若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3434页页设P()是一个集合函数，(1) 若任对单调不减集合序列Fn，有 则称P()是下连续的.（二）集合函数的连续性(2) 若任对单调不增集合序列Fn，有则称P()是上连续的. 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3535页页性质7 若P()是事件域F上的一个概率函数 ，则P() 既是下连续的，又是上连续的.（三）概率的连续性第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3636页页性质8若P()是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P() 有可列可加性的充要条件 是它具有有限可加性和下连续性.（四）可列可加性的充要条件第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率第第3737页页1 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击 伤的 概率是1/2，击不中的概率是1/6，并设击伤2 次也会导致潜水艇沉