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1、测 量 学主讲：郭朝霞surveying第五章 测量误差的基本知识第一节 测量误差概述第二节 衡量精度的标准第三节误差传播定律最小二乘法第四节 等精度直接观测平差第五节 不等精度直接观测平差测量工作中，尽管观测仪器非常精密，观 测者按照规定的操作要求认真观测，但在同一 量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值 之间仍存在差异，这就是误差。第一节 测量误差概述 误差产生的原因：1、测量仪器加工、调试不完善。2、观测者器官的鉴别能力有限。3、外界条件的影响。同精度 观测不满足同精度观测条件中的任何一个条件的 观测都视为不同精度观测。 所进行 的观测 观测条件5.1.1 测量误差的分类 （ 一、粗差
2、）由于粗心大意而引起 ，实际是一种错误。消除方法：必须严格校核，反复观测，加 以剔除。二、系统误差 ：在相同的观测条件下作一系列观测，若误 差出现的数值大小及符号相同，或按一定的规 律变化，那么这类误差称为系统误差。消除方法：1、检验、校正仪器。 2、采用适当的观测方法。3、计算改正，如尺长改正等。 4、系统误差补偿。三、偶然误差 ：在相同的观测条件下作一系列观测，若误 差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误 差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从 大量误差的总体来看，具有一定的统计规律， 这类误差称为偶然误差或随机误差。 = L - X真误差观测值与理论值之差5.1.2 偶然误差特性 实
3、验：三角形内角和理想值为180，多次 观测三个内角，求闭合差：消除方法：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。区间间（ ）正误误差负误负误 差总总数个个个 0-322112311.54522.5 3-62010201040206-91681683216 9-12136.51472713.5 12-15115.5115.52211 15-1894.594.5189 18-216352.5115.5 21-242131.552.5 24以上000000 9949.510150.5200100大量偶然误差分布表现出一定的统计规律性, 成正态分布： 3、绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）1
4、、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会 超过一定的限值；(有界性)2、绝对值较小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。（集中性） 4.同一量的等精度观测，其偶然误差 的算术平均值，随着观测次数的无限 增加而趋近于零。（补偿性）精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测 中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准中误差容许误差相对误差第二节 衡量精度的指标 一、中误差在相同条件下，对某量（真值为X）进行n 次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误 差（真误差）1，2，n，则中误差m 的定义为：式中中误差m表示测量值和真实值间的偏离程度。中误差小，误差值集中于原点 两侧，精度高；中误差大，误差
5、值分布分散， 精度低。0-2-1+3-4-3+2+1-2+4+1-2+60+1-7-10+3+1解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高真误差：测量中的被观测量客观存在一个真 实值。观测值与真值的差值为真误差。 在同一组等精度观测值中，每个观 测值的真误差都不同，但中误差相同。 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就 是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m 。极限误差的作用：区别误差和错误的
6、界限。相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应 观测值 D 之比，通常以分母为1的分式来表 示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。误差传播定律：阐述观测值中误差与观测值函 数中误差的关系的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数第三节 误差传播定律 x未知量的直接观测值；当观测值 含有误差 时，则函数Z也将产生真误 差 ,即 5.3.1、倍数函数的中误差 设倍数函数为： 式中 K常数；将两式减得 如果对未知量观测n次，则可写出n个与上式相同的式 子，即 将上式两边平方相加，并除以n，得 根据中误差定义，上式可写成:5.3.2 和或差函数的中误差
7、 设某一量Z为两个独立观测x与y之和或差的函数，则函数 式为：当观测值x、y分别含有真误差x、y时则函数Z也将产 生真误差z，由上式得将两式相加，得如果对x、y各观测n次，则可写出n个真误差之间的关系：将上列等式两边平方，得等式两边相加，并除以n，得即如果函数Z为n个独立观测值的代数和，即根据上面推导方法，可得出函数Z的中误差为：如果函数Z为n个独立观测值的代数和，即根据上面推导方法，可得出函数Z的中误差为：5.3.2 一般函数的中误差 设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得式中： 是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定
8、后，它们均为常数，因此上式是 线性函数，其中误差为：误差传播定的几个主要公式：误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数中误差 列函数式 【例】用L长的钢尺丈量边长D，共丈量了n个尺段，各尺 段丈量误差均为m，计算边长D及其的中误差。 1.列出观测值函数的表达式：2.对非线性函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真 误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。 求观测值函数中误差的步骤：3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是 独立观测值。 【例】已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角
9、=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差1、有函数 Z1=X1+X2，Z2=2X3 若mX1=mX2=mX3=m且 X1，X2，X3 相互独立。则mZ1与mZ2是否相同？2、有函数 Z=Z1+Z2，Z1=X+2Y， Z2=2X-Y且 X，Y 相互独立,mx=my=m 求 mZ3、用一经纬仪测水平角，一测回中误差为m=9 容许误差为2倍中误差，求三角形角度闭合差的容许误差思考：直接观测平差 利用最小二乘法平差原理，从一个量的多次观测值中， 推求其最或然（改正）值，称为直接观测平差。 条件平差 利用多余观测获取平差条件，通过平差条件和最小二 乘法平差原理推求观测值的
10、最或然（改正）值，称为 条件平差。 间接平差 通过选定t个未知数，将每个观测量表达成这t个参数 的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由 极值的方法解出参数的最或然（改正）值。最小二乘法最小二乘法能够得到一组具有多余观测的线性方程的最优解，消除观测值之间的矛盾（不符值）。例：某角的观测值为： 600040， 600030， 600054。 此角的真实值无法确定，即 值不确定，则需求出最或然值，及其对应的似真误差 最小二乘法原则：最优方案：改正数的平方和最小同精度观测：不同精度观测：设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测 值为l1、l2ln，理论值为X，则其算术平均值 （最或然值、似
11、真值)为：5.4.1 观测值的算术平均值第四节 等精度直接观测平差 设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，n）将上式相加得或故 推导过程：由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 最小二乘法推导过程：第一公式第二公式（白塞尔公式）条件：观测值真X未知，算术平均值已知其中 观测值改正数，5.4.2 算术平均值计算中误差设 则证明：（i=1，2，3，n）两式相加，有即解：（i=1，2，3，n）将上列等式两端各自平方，并求其和，则将 代入上式，则故（PQ）又因由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性
12、质，根据偶然误差的特性，即【例】设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同， 设其中误差均为m。则平均值的中误差为，5.4.3 算术平均值中误差m由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。故【例】用一经纬仪测水平角，一测回角值中误差欲使测角精度达到 ，需测几测回？解要使 则需观测的测回数因为 n个测回平均角值的中误差为第四节 不等精度直接观测平差根据不同精度的观测结果来求某观测量的最或是值 。需要引入“权”的概念单位权中误差：与单位权对应的观测值的中误差。常用 来表示权：用
13、以权衡各个不同精度观测值在平差中的分量轻重，权是表示某一观测值可靠程度的相对指标。5.5.1 权、单位权和单位权中误差单位权：权为1时的权例 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1n2n3进行观测，得相应的算术平均值为L1L2L3, 求L1L2L3的权。1、权和中误差都是衡量精度的标准，但中误差是绝对性 数值，表示观测的绝对精度，权是相对性数值，表示 观测值的相对精度。2、权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示 观测值越可靠，精度越高。3、权始终是正号。4、权的大小随c的不同而不同，但权之间的比例关系不变 。5、权是一相对性数值，对单一的观测值而言，权没有意 义。在同一题
14、中，只能选定一个c1.确定距离丈量的权权当钢钢尺的长长度相等时时，可以认为认为 每尺段的中误误差相等，每公里的中误误差也相等，设设每公里中误误差为为mkm，根据误误差传传播定律，则长则长 度为为 公里的一次观测观测 的中误误差为为 5.5.2 测量上确定权值的常用方法按定权权公式若取，c 任意为为常数（一般为为整公里数）可见见，距离丈量的权权与距离成反比。 例 一测测量小组组以同一钢钢尺丈量三段距离，其值值分别为别为S1=4km，S2=5km，S3=6km，试定权。解：以公式，取c=4km，则则2、用水准路线长确定高差测量的权用相同观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路 线，测量两点
15、间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知 每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。例 如图，为求某点高程，水准线路的长度分别为是S1=2.0km，S2=4.0km，S3=5.0km，求每个水准线路所测高差的权。解： 取 c=s1=2km 有 3、 根据测测站数定权权在山区水准测测量中，A与B间观测间观测 了n站，其高差为为根据误误差传传播定律有因为为每站为为等精度观测观测 ，则则每站的高差中误误差相等，为为 故 取 有5.5.3 不同精度观测的最或然值 设对某量进行了不等精度观测，其观测值为L1、L2Ln,对应的权分别为P1、P2Pn,设未知量的最或然值为x,观测值的改正数为V1、V2Vn。最小二乘法推导不同精度观测的最或然值 设对某量进行了不等精度观测，其观测值为L1
