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1、 无穷级数无穷级数 2012考研数学培训一、常数项级数敛散性的判别 级数主主 要要 内内 容容二、幂级数的收敛特性与和函数的性质三、求收敛域与级数的和四、函数的幂级数展开五、傅里叶级数考研数学级数互为逆过程，但 是方法完全类似考研数学级数第一部分第一部分主要知识回顾主要知识回顾考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 1、基本概念、性质与重要级数 （1）、基本概念级数常数项级数级数的部分和考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 1、基本概念、性质与重要级数 （1）、基本概念（2）、基本性质绝对收敛与条件收敛结论: 级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别
2、1、基本概念、性质与重要级数 （2）、基本性质结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5 级数收敛的必要条件考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 1、基本概念、性质与重要级数 （2）、基本性质10.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；20.必要条件不充分。考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 1、基本概念、性质与重要级数 （3）、重要级数调和级数，发散交错级数，条件收敛考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 1、基本概念、性质与重要级数 （3）、重要级数考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 2、级数敛散性的判别 （1）、正项级数定义:这种级
3、数称为正项级数.定理正项级数收敛的充要条件:部分和数列 为单调增加数列.比较审敛法一般形式考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 2、级数敛散性的判别（1）、正项级数考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数, 如果则(1) 当时, 二级数有相同的敛散性;(2) 当时，若收敛, 则收敛;(3) 当时, 若=1nnv发散, 则=1nnu发散;2、级数敛散性的判别（1）、正项级数一、常数项级数敛散性的判别 2、级数敛散性的判别（1）、正项级数考研数学级数一、常数项级数敛散性的判别 2、级数敛散性的判别（1）、正项级数考研数学级数比值审敛法的优点
4、:不必找参考级数定义：正、负项相间的级数称为交错级数。一、常数项级数敛散性的判别 2、级数敛散性的判别（2）、交错级数考研数学级数考研数学多元函数微分学一、常数项级数敛散性的判别级数发散必要条件或或或或是否为几何级数是是否为p级数是否为 正项级数是否为 变号级数否用比较法、比值法、根值法判别否是否满足 莱布尼兹定理用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性为正项级数否当 收敛；当 发散 是是方法是是 是否收敛是当 收敛；当 发散绝对收敛是否为 交错级数是是条件收敛否流程图考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（1）、概念注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项
5、级数的收敛问题.和函数在收敛域上 , 函数项级数的和是x的函数)(xs 称)(xs为函数项级数的 和函数。考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（1）、概念幂级数:考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径几何 说明收敛区域发散区域发散区域0推论考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径推论中的正数R称为幂级数的收敛半径.规定定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域为如下形式之一：考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的
6、收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径.和函数的运算性质:考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变 ).和函数的运算性质:考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质 1、幂级数的收敛特性（2）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变 )考研数学级数 三、求收敛域与级数的和具体步骤如下：考研数学级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质对于缺项级数的收敛域通常有两种方法：A、换元法B、直接当做一般常数项级数来处理，通常使用正项级数的比值法、根值法
7、，再利用阿贝尔定理判别出收敛半径。考研数学级数 二、幂级数的收敛特性与和函数的性质注：对于某些幂级数，可以采用间接做法。考研数学级数 二、幂级数的收敛特性与和函数的性质考研数学级数40为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .若函数的某邻域内具有任意阶导数, 考研数学级数四、函数的幂级数展开 1、泰勒级数与麦克劳林级数展开方法直接展开法间接展开法定理各阶导数, 则f (x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是设函数f (x)在点 x0 的某一邻域 内具有考研数学级数四、函数的幂级数展开 2、幂级数展开的条件3、函数展开成幂级数的展开方法 利用泰勒公
8、式 利用已知其级数展开式 的函数展开考研数学级数四、函数的幂级数展开 3、函数展开成幂级数的展开方法间接展开法常用函数的幂级数展开式如下：考研数学级数四、函数的幂级数展开间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .3、函数展开成幂级数的展开方法当m = 1时常用函数的幂级数展开式如下：考研数学级数四、函数的幂级数展开 3、函数展开成幂级数的展开方法考研数学级数五、傅里叶级数 傅里叶级数傅 里 叶 系 数考研数学级数五、傅里叶级数考研数学级数第二部分第二部分考题选讲考题选讲考研数学级数一、级数敛散性的判别考题选讲考题选讲数一：2011、一(2)例1一、级数敛散性的判别考研数学级数选C数一
9、：1998、八例2一、级数敛散性的判别考研数学级数收敛数三：2003、二(3)例3一、级数敛散性的判别考研数学级数选B数一：2004、二(9)例4一、级数敛散性的判别考研数学级数选B一、级数敛散性的判别考研数学级数数三：2006、二(9)例5即：数一：2006、二(9)选D数三：2004二(10)例6一、级数敛散性的判别考研数学级数选D数一：1995、二(4)例7一、级数敛散性的判别考研数学级数选C数一：1996、二(3)例8一、级数敛散性的判别考研数学级数选C数三：1996、二(2)例9一、级数敛散性的判别考研数学级数选A考研数学级数二、幂级数的收敛性与级数的和考题选讲考题选讲二、幂级数的收
10、敛性与级数的和考研数学级数数三：2009、二 (11)例1【解析】设。所以，该幂级数的收敛半径为二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：1995、一(4)例2使用 阿贝尔定理二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：2010、三 (18)例3二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：2008、二 (11)例4二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：1996、五题例5法二：转化为相应的幂级数，先找到幂级数的和函数二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：2005、三 (16)例6二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数一：2002、七题例7就是 特解二、幂级数的收敛性与
11、级数的和考研数学级数数三：1999、一(2)例8利用结论 ，再逐项求导。二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数三：2000、七题例9然后，利用结论 ，先逐项求导，再积分。首先计算定积分，得到二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学级数数三：2003、六题例10【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1；求出和函数后，再按通常方法求极值。考研数学级数三、幂级数的展开考题选讲考题选讲数三：2007、三 (20)例1三、幂级数的展开考研数学级数的幂级数，并求收敛区间。将函数展开成【分析】数一：2006、三 (17)例2三、幂级数的展开考研数学级数【分析】数一：2001、五题例3三、幂级数的展开考研数学级数【分析】 直接展开arctanx有困难，但是(arctanx) 教容易，可以先展开其导数，再逐项积分，即可求解问题。要求记住常见函数的幂级数。考研数学级数四、傅里叶级数考题选讲考题选讲数三：2003、一(3)例3四、傅里叶级数考研数学级数【分析】 属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算。（3）设，则= .1祝大家考研成功!
