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1、第三十七讲 导数的概念及其运算Date起脚便是长安道，西风瘦马伴君行一、引言：（1）导数它既是研究函数性态的有力工具，又是进行理性思维训练的良好素材导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行（2）考纲要求理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数（3）考情分析：2010年高考命题对本专题内容的考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，重点考查导数的几何意义和与切线有关的问题Date起脚便是长安道，西风瘦马伴君行在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 即 二、考点梳理1
2、导数的概念：设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时，函数 相应地有增量 ，如果当 时， 有极限，称函数*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行2导数的几何意义函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点 处的切线的斜率是 相应地，切线方程为 *起脚便是长安道，西风瘦马伴君行3导数的运算：（1）基本函数的导数公式： ； ； ； ； ； ； (2)导数的运算法则：设 均可导，则； ；*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行(3) 复合函数的导数：设 均可导，则复合函数 可导，且*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行例 (2008北京)如图，函数 的图象是折线段ABC，其中
3、A、B、C的坐标分别为，则 ；（用数字作答） 2BCAyx1O34561234三、典型例题选讲*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行分析：本题的极限式为导数的定义公式的变形 ，因此结合导数定义公式进行合理变形是解决 问题的突破口解：由图形可知， ，归纳小结：(1)本题考查了函数的表示形式，导数的概念和几何意义等知识点，以及数学转化能力及分析问题和解决问题的能力*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行(2)解决此类问题的关键是分析解析式的结构和特征，合理进行转化利用导数的概念公式并结合其几何意义 为曲线在点 处的切线的斜率 （）本题常见的变形结构： 、 等代数式的值解决此类问题的关键是力求使所求极限的结构形式
4、转化为已知极限的形式*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行如： 例 求函数的导数：*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数解： (1)*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行（） （）令 ， ，（4） *起脚便是长安道，西风瘦马伴君行归纳小结：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法和代数式等价化简的运算能力（）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误 *起脚便
5、是长安道，西风瘦马伴君行对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些初等函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导（）对复杂函数的求导时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先应用代数、三角恒等变形方法对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行例3 某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之距离对时间的变化率是_km/h*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行答案为解：设
6、t小时后两船距离为s，则有km/h分析：由题意知 ， ，且 相对时间t的导数就是变化率的极限是瞬时速度因此只需求函数 在 时的导数值*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行（）导数在实际问题中有着广泛的应用，如位移 相对时间t的导数是表示时刻t处的瞬时速度，即 ；而速度相对时间t的导数就是时刻t处的加速度，即 归纳小结：（）本题考查了导数的几何 意义解决物理问题，了解导数的某些实际背景 ，熟练运用复合函数的求导法则，考查了数学 转化和建模思想，及用导数知识处理实际问题 的能力*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行例 （2009江苏卷）在平面直角坐标系 中，点 在曲线 ： 上，且在第二象限内，已知曲线 在点
7、处的切线的斜率为2，则点 的坐标为 .分析：利用点 处的切线的斜率 ，且 即可解出 ，从而解出点 的坐标 Date起脚便是长安道，西风瘦马伴君行解： 点 在第二象限内， 点 的坐标为(-2,15).归纳小结：（）本题考查了复杂函数的求导方法和导数的四则运算法则，对函数解析式的分析和观察能力和恒等变形、灵活计算的能力有较高的要求 （）导数的几何意义是：曲线在点 处的切线斜率为 ，这是考查的重点内容之一*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行例（2007年海南、宁夏）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）分析：根据导数的几何意义可以得到切线方程，从而求出切线与坐标轴的交点，利用所围三角形为直
8、角三角形，求出三角形面积*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行解：曲线在切点 的切线的斜率为 切线方程为 .当x=0时，切线与y轴交于点 ；当y=0时，切线与x轴交于点(2,0)所以切线与坐标轴所围三角形面积为故选D.*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行归纳小结：（）本题考查了曲线的切线方程，并将导数的运算与几何图形的切线、面积进行综合，考查了数学知识的迁移能力和数形结合思想 （）求曲线的切线方程的步骤是：求导数f (x)；求斜率；写出切线方程*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行A. B. C. D.分析：若切点 ，则根据导数的几何意义是函数在切点处切线的斜率 ，因此求出切点的横坐标为解决问题的突破口例 过
9、点(-1,0)作抛物线 的切线，则其中一条切线为（ ）*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行化简得 ，可解得 或 当 时， ，切线方程为 ；当 时， ，切线方程为 ； 故选D解：设切点坐标为 ， 则切线的斜率为 ，所以切线方程为 . 因为点(-1,0)在 切线上，所以 .*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行( 2 )要注意的是，当函数在 处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时切线的斜率 是在切点处的横坐标的导数值，故当切点未知时，应先设切点，再求斜率，写出切线的方程归纳小结：（）本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，深刻理解曲线的切线的定义及导数的几何意义是解答本题的关键Date起脚便是长安道
10、，西风瘦马伴君行例 已知抛物线C1： 和 C2： 如果直线 同时是C1和C2的切线，称 是C1和C2的公切线若C1和C2有且仅有一条公切线，求 的值，并写出此公切线的方程分析：由于未知切点，因此应先设出切点，并分别求出曲线C1和C2的切线方程，利用两条切线重合时的切线是公切线，求出切点的横坐标，从而解决问题*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行解：设抛物线C1上的切点为 ，则在点P处切线的斜率为 ，所以抛物线C1在点P处的切线方程是：即 ，同理，设曲线C2上的切点为 ，则曲线在点Q处的切线方程是 . *起脚便是长安道，西风瘦马伴君行如果直线 是过P和Q的公切线，则式和式都是直线 的方程，则 消去 得
11、方程 . 若判别式 时，即 时，得 ，此时点P和Q重合即当 时，C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为 *起脚便是长安道，西风瘦马伴君行归纳小结：（）本题主要考查导数、切线等知识，同时考查了数学转化思想和综合运用数学知识解决问题的能力（）本题的特点是主要是新定义了概念，在新定义的概念背景下解决问题其解决方法是对新概念“曲线和的公切线”进行充分的分析，从中找出关键信息进行再加工，从而合理地进行问题的转化*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行例 已知函数 为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在 处的切线方程为 ，求函数 的解析式解：函数图象过点A(0,-1)， .函数 是偶函数， . 分析:由函数 是偶函数并过点A ,可以求出参数 的值,再利用导数的几何意义和切线方程求参数 的值即可 *起脚便是长安道，西风瘦马伴君行 ， . . 当 时， .且把 代入直线方程 可得 ，即切点为(1,0).点(1,0)也在函数图象上，即 .由 解得 .*起脚便是长安道，西风瘦马伴君行归纳小结：（）本题考查了函数几何意 义的逆向运用，以及奇偶函数的概念和切点坐 标的使用，
