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1、School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述 第第3 3章章 计算机控制系统的数学描述计算机控制系统的数学描述n n3.1 3.1 z z变换理论变换理论n n3.2 3.2 差分方程差分方程n n3.33.3 z z传递函数传递函数n n3.4 3.4 离散状态空间描述离散状态空间描述School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述1 1、 z z 变换的定义变换的定义z变换定义：n n3.1 3.1 z z变换理论变换理论Schoo
2、l of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述在 z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：【注】： 实际上是对 而非 的 z变换。为什么？School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述可以看出： 若 ，则有可以得到：即 反之亦然 School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述下面的式子成立吗？School of Automation Engineering第第3 3
3、章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述 常见 z 变换举例（1）（3）（2）School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（5）（4）School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述2 2、 z z 变换的方法变换的方法（1）级数求和法（按照 z 变换定义求）（2）部分分式法（经常使用）（3）留数计算法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描
4、述（2）部分分式法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述例1 已知 ，求它对应的 Z 变 换式 School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述例2 求 的 z 变换School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（3）留数计算法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述
5、 3 3、 z z变换的性质和定理变换的性质和定理（1） 线性性质School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（2） 滞后定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述(3) 超前定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述(4) 初值定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机
6、控制系统的数学描述(5) 终值定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述(6) 复位移定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述(7) 偏微分定理School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述4、 z 反变换反变换Sc
7、hool of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（1） 直接除法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（2） 部分分式展开法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述54School of Automation Engineer
8、ing第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述 （3） 留数计算法School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述对计算机控制系统，其输出 y (k) 不仅取决于当前的输入 r (k) ，还取决于过去的输入 r (k-1)，r (k-2)，以及过去
9、的输 出 y (k-1)，y(k-2)，。其后向差分方程后向差分方程 的一般形式为：其前向差分方程前向差分方程 一般形式为：其中，a1, a2, , an; b0, b1, , bm为常系数，且 n mn3.2 差分方程差分方程1、 差分方程的一般形式School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述 2 2、 差分方程的差分方程的解解差分方程的解法有多种，其中，常用的包括迭代 法与 z 变换法等。(1) 差分方程的迭代解法根据差分方程的初始条件或边界条件，逐步根据差分方程的初始条件或边界条件，逐步 求出后面的未知项。
10、由此得出的解为非闭合解求出后面的未知项。由此得出的解为非闭合解。School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述例3 已知差分方程为【解】： School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（2 2）z z 变换法变换法利用利用 z z 变换将线性定常的差分方程变换成以变换将线性定常的差分方程变换成以 z z 为变量的代数方程，求此代数方程的解，再取为变量的代数方程，求此代数方程的解，再取 z z 反变反变 换，即为差分方程的解换，即为差分
11、方程的解。School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述例例 4 4 差分方程同 例例3 3解：对差分方程求 z 变换此时，需要求得 y (1)，令原方程中 k=0， 则可得因此有即School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述验证：查表可得因此有将其展开为部分分式部分分式有查表求 z z反变换反变换School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述离散系统 z
12、 z传递函数传递函数 定义为：在零初始条件下，离 散系统输出量的输出量的 z z 变换变换与输入量的输入量的 z z 变换变换之比，即对于采样系统，其输入为采样信号，但输出一般仍 为连续信号，此时便假想在输出端虚设一个采样开关， 从而变成离散系统。3.3 z z 传递函数传递函数 1 1、 z z 传递函数传递函数的的概念概念a 实际采样系统 b 等价的离散系统 School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述2、 z z 传递函数与差分方程的关系传递函数与差分方程的关系反之，通过对z传递函数取 z z反变换反变换，
13、则可得差分方程。差分方程与差分方程与z z 传递函数之间可以相互转换传递函数之间可以相互转换差分方程为设初始条件为零，两端取 Z Z 变换变换，得由此可得z 传递函数School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（1 1） 串联环节的串联环节的z z传递函数传递函数3 3、开环开环z z 传递函数传递函数串联环节间无采样开关 系统输出的拉式变换式为 对应的 z 传递函数为 School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述串联环节间有采样开
14、关 School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述(2) (2) 含零阶保持器的开环含零阶保持器的开环z z传递函数传递函数School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述（3 3）并联环节的）并联环节的z z传递函数传递函数School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述 4. 4. 闭环闭环 z z传递函数传递函数n n独立环节独立环节在采样系统或计算机控制
15、系统中，两个相邻采样开 关之间的环节只称为一个独立环节独立环节。n n若闭环系统的输入信号未被采样，则闭环若闭环系统的输入信号未被采样，则闭环z z传递函数将传递函数将 写不出来写不出来。School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述由此可得闭环z传递函数如果误差通道有采样开关，即输入与反馈信号均被采样School of Automation Engineering第第3 3章计算机控制系统的数学描述章计算机控制系统的数学描述n由以上闭环z传递函数的推导结果可知，系统输出的输出的 Z Z 变换变换 的分子是前向通道前向通道（包括输入R(s)）所有独立环所有独立环 节节 的 Z 变换的乘积，分母是闭环回路闭环回路 所有独立环节的 Z 变换加 1；n在计算采样系统的z传递函数时，必须以独立环节为计 算传递函数的最小单位。n n闭环系统
