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1、多分辨分析多分辨分析 两尺度关系 多分辨分析描述方式 小波空间自动化系-吴2012-3-8Wavelets analysis1能量有限空间的小波分解 由小波级数知，函数 能表示为 把上述表示改写可得2能量有限空间小波分解(续) 由于 是 的Riesz基，对固定k,令即， 是 线性张成的闭包。那 么， 就可分解为空间 的直接和这时， 都有唯一分解其中 3多分辨空间的形成 现在，对每个 ，考虑 的闭子空间 这些闭子空间 具有下述明显性质: 是嵌套序列 4多分辨空间的形成(续) 进而，如果存在 中的函数 ，使族是 的一个Riesz基，即并且 满足Riesz条件: 存在使对于所有双无限平方可和序列 ，
2、有对于 ,如上式成立，则称它是 稳定的 。 附注 满足Riesz条件，则它们一定是 线性无关的。所以它是 的一个基。 5多分辨分析定义 如何由 出发，使由 张成 的闭子空间的序列 满足上述几条，且 是 的一个Riesz基。这时 称为尺度函数。 定义 的闭子空间的嵌套序列 称为形成一个多分辨分析， 满足1) 且2) 则 ，且3) 存在 使 形成 一个 Riesz基。 6多分辨分析定义(续) 定义中的条件 可以省掉，因为它 可以从其它条件推出，为了方便我们仍保 留这个条件。 由于 是 的一个Riesz基，由 条件(2)， 也是 的一个Riesz 基。所以，也称 生成一个多分辨分析 Vk。 定义中的
3、几个条件分别称为嵌套性，可逼 近性，层次性和基底性。2012-3-8Wavelets analysis7两尺度关系 设 生成一个多分辨分析 ，由于 而 ，所以 ， 可用 的基底表示。由于 是 的一个Riesz基，所以存在唯一 序列 , 使上式就称为 的两尺度关系, 称为两尺度序 列. 对于模为1的复数z，引入记号对两尺度关系两边作Fourier变换，则得两尺度关 系的Fourier变换形式8多分辨分析三种描述方式 由前边的多分辨分析可以看出，多分辨分析 至少有三种描述方式: 的闭子空间序列 ; 尺度函数 ; 两尺度序列 ; 例1 这是Haar多分辨分析的例子。尺度函数 是区间上的特征函数。记,
4、空间是 的规范正交基。嵌套序列 是 9多分辨分析三种描述方式(续) 这个例子是由 的子空间 定义的 多分辨分析。 是在区间 上为常数的所有函数形成的空间。这时常数 这时有因为在长为 的区间 上为 常数的函数，在长为 的区间上一定是常数。这时尺度函数还是Haar函数10 前边我们引入了序列 的符号 ,为了突出 它与的联系,再写这时 是以2为周期的函数，且这时两尺度 关系的Fourier变换形式是 引理1 规范正交尺度函数 的Fourier变换 满足下述条件: 几乎处处成立;(2) (3) 几乎处处成立。分n为奇 偶两部分尺度函数的性质13 证明 (1)是前边定理的结论，式(2)是 的 两尺度关系
5、的Fourier变换形式(与 正交性无关)。下面证明(3)成立。把式(2)代入式(1)得到由于上式对于任何都是真的，用代替得到在右边求和中，把奇数项和偶数项分开，并 利用 是2周期函数，得第7讲第4页的定理14 证明(续) 几乎处处成 立 附注 尺度函数 的Fourier变换 满足方 程(2)，这时 也常称为多分辨分析的生成函 数。这个函数还称为序列 的离散Fourier 变换，在信号处理中， 称为离散滤波器的 传递函数。15函数形成多分辨分析的条件 定理 假定 使 平移 是规范正交的: 是 收敛的,而 的Fourier变换在=0是连续的,且 定义 ,则 形成 一个多 分 辨分析。 证明 由(
6、2)推出 ,令 是空间 到上的正交映射 这个映射算子满足界 。 为证明多分 辨 性质，对所有 ，只要证明和 即可。这可由下面两个引理及推论来完成。16 引理A 在上述定理条件下，对任何 ，都有 。 证明 因为 ,我们只要在一个稠密集上证 明这一结果,例如,假定 函数具有紧支撑，如 果 f 具有在 中的支撑，那么17 证明(续) 如果 ,那么这些积分是在邻接 区间并上的积分,这个区间并为而 ，它的Lebesque测度为零。所以 ，用控制收敛定理，有 为证明另一式,先把 表示为Fourier变换形 式. 引理B 令 ，而它的Fourier变换是有界的 ,且对于某个 ，支撑在 中。那么，对 于 ，我
7、们有18 证明 使用Parseval恒等式，有其中,使用了 的Fourier变换为这一事实。现在,如果 最后的积分等于 在 区间 上的积分,此区间上=1。进而用对Fourier级数的Parseval恒等式,对 有 推论C 假定 满足添加的条件: 在=0 是连续的,且 。那么,对任何 ,当时, 证明 因为 是收敛的，只要证明，在函数 的Fourier变换具有紧支撑且有界的函数f 的稠 密集上证明即可。进而，由正交映射性质，有所以,证明 即可,使用假设,当 时在紧集上一致收敛到1,所以,对 给出20小波空间 对于 生成的多分辨分析 ，由于 现在考虑 关于 的补空间 ，即至 少要求 满足满足上面两个
8、性质的 称为 的直接 和为了构造，像 生成 一样，生成 的小波 ，由于 ，所以 考虑 序列 及由它定义的 中的函数Wiener定理 我们知道，给出了序列 就完全确 定了尺度函数与小波函数 。 对于 ,它们一般是Laurent级数，这时 重要的是对应的序列 。 如果一个Laurent级数的系数是 序列，则称 这个Laurent级数属于Wiener类W。 容易看到,两个 序列的和与两个 序列的离 散卷积还是 序列,所以类W是一个代数。 定理 令 W,并且对于单位圆 上的所 有z，假定 ，则 W 。 22分解关系 由前，我们还要求函数 ，并且像 生 成一样的方式生成闭子空间 ，即同时注意，还要求空间序列 继承性 质(4)，以便使由 生成空间 。 为了满足直和关系， 是 的一个Riesz基即可。 对于符号 组成的矩阵下章定理给出:给 ,则是 的一个Riesz基,iff 对于所有 , 可 逆.分解关系(续) 如果 对于所有 可逆，则所以 W由Wiener定理，得 W在 上，作函数 得到 的逆( 都属于Wiener类) 由下章另一定理,生成 中的符号 的 序列 。进而,对所有 ,有分解关系 本节完！2012-3-8Wavelets analysis25
