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1、第二章 确定性信号的描述(Deterministic Signal Representation) n 信号可分为确定信号（deterministic signal）和非确定信号（non- deterministic signal）。确定信号中又有线性信号（ linear）和非线性信号（nonlinear），如同 态信号（homomorphic signal）、混沌信号 (chaotic signal)，等。本章只涉及确定性信 号的描述。需要再次强调的是，对信号特 征的判定非常重要，因为这涉及到是否选 用了正确的信号处理方法以及是否能得出 合理的结论的问题。第一节 信号的时域和变换域描述n(s
2、ignal representation in time and transform domain) n信号的描述主要讨论信号的数学模型。就信号模型而言，可分为概念模型，数学模型和物理模型。 应该认为，这里的讨论具有一般性。n一、三类信号模型 n(一)信号的概念模型n信号的概念模型认为信号是信息的载体，是物质或能量及其运动，是客观事物的性质或相互作用的 表现形式。 n(二)信号的数学模型n信号的数学模型认为，信号是一些数学方程（函数）。如果方程（函数）的自变量是时间t, 则认为 是时域信号。如 n y(t) = a + x(t) + z(t) (2-1)n表示自变量是时间的信号，称为时间移变信
3、号，简称时变信号。信号的时域模型表示的是信号的幅 度随时间的变化。图2-1表示时域信号n y(t) = 3 + 2COS(4t+/3) + 3SIN(8t+/6) (2-2)n的幅度随时间的变化。该信号有三种成分：直流分量3（图中未示出），余弦分量2COS(4t+/3) 示于图2-1a)，正弦分量3SIN(8t+/6)示于图2-1b)，合成信号y(t)示于图2-1c)。图2-1 时变信号（64Hz采样）n如果方程的自变量是空间坐标变量r, 则认为是空域信号。如n y(r) = a + x(r) + z(r) (2-3) n表示自变量是空间坐标r的信号，称为空间移变信号。笛卡儿空间坐标可以是 一
4、维的、二维的、三维的，这是实际的几何空间。如果自变量r也含时间，则 自变量定义在四维物理空间，或称为爱因斯坦空间。 n(三)信号的物理模型n信号的物理模型认为，信号是客观物质的性质、相互作用和能量的表现形式 。雷鸣和闪电，语言，心脏的电活动，DNA序列都是客观存在的信号。信号 能携带和传递信息。 n1. 信号的变换域描述 n如果方程的自变量是频率f, 则认为是频域信号。如n y(f) = a + x(f) + z(f) (2-4)ny(f)表示信号的幅度（或功率）随频率的变化。频域信号一般称为信号的变换 域描述。信号的频域描述只是变换域描述之一。信号的定义域称为信号空间 。一般的信号空间称为希
5、尔伯特（Hilbert）空间。频域空间又称为傅立叶（ Fourier）空间，这是一种特殊的希尔伯特空间。n 变换域除了傅立叶空间外，还有其他的常用变换域空间.。如自变量为s(或 p)的空间称为拉普拉斯(Laplace)空间，自变量为z的空间称为Z空间。n变换域描述的概念也是相对的。如果给出的信号是在频域定义的，即给出的 是信号的频域描述，则其变换域描述就是时域或空域描述。n如果y(f)对应的时域信号为白噪声，则y(f)具有连续值（计 算机处理结果也离散化了，离散化以后的幅度分配将在第 九章讨论）。如果y(f)对应的时域信号为周期信号，则y(f) 具有离散值。图2-2示出的是（2-2）式代表的信
6、号的时域 图形描述（图2-2 a）与频域图形描述（图2-2 b）。 图中可清楚看出两种频率成分：2Hz和4Hz。由图可知， 对于周期信号，频域描述有特别高的数据压缩特性。 图2-2 信号的时域和频域图注：箭头指出为 2.81Hz n这里要指出的是，周期信号的频域表示一定是线状谱。就 是白噪声，按傅立叶观点，经过采样、数字化和计算机数 字处理后，也是线状谱。谱线间的距离由频域分辨率决定 （见第九章）。分辨率之间的频率是不确定的、没有定义 的。原始信号中存在于谱线间的频率成分的能量或功率的 分配按与相邻谱线的加权距离来决定。n如果y(f)对应的时域信号为非周期、非随机的非线性信号 ，则y(f)具有
7、宽带特征（见第四章）。图2-3为心电信号的 时域及频域描述（功率谱）。图中示出了宽带谱特征。图2-3 心电信号及其功率谱, 功率谱有宽带特征。 n三、信号的连续域和离散域描述n 一种观点认为，客观世界本质是离散的，即离 散是绝对的，连续是相对的。连续只是离散的一 种近似。在低分辨率情况下，离散就变成了连续 。这样的现实例子很多，如同样是一头黑发，老 年人看起来是一片，青年人看起来是一丝一丝。 大到宇宙空间的星体小到基本粒子，都是离散的 、可数的。组成物质的分子、原子之间都是有很 大的距离的（在原子、分子线度）。场也具有量 子性。可见光作为电磁波的一段也是作为光子发 射的，每个光子都是有与之能量
8、有关的质量的。 在医学信号处理领域，也有不少明显是离散的信 号的例子。心跳是一次一次的，因此心跳的间隔 ，即心动周期（heart period：HP，即R-R间期） ，也是离散的。HP的特征（时域的、频域的）还 有重要的生理和临床意义（见第16章）。n具有基础意义的离散信号的表示法（方程和图形），如delta ()函数 、单位跃阶序列、指数序列、周期序列等，可参见信号与系统、 信号处理等著作。n计算机只能处理离散的、量化的信息数字序列。处理的结果也是离 散的。一个数字序列可用穷举法表示，如n x = x0，x1，x2，x3，x4，xn (2-5)n也可用集合记号表示，如n x = x(n) n
9、 = 0，1，2，3，4，N-1 (2-6)n本书多采用（2-6）式的表示方法。如无特别说明，时域量用小写字 母表示，如y(t)。频域量用大写表示，如Y(K)。n另一种观点认为，客观世界本质是连续的。也就是说，宇宙是物质的 ，物质是连续的。离散是对连续的抽样的结果，也只是一种近似。抽 样要满足抽样定理，才能完全确定原始信号。理论上讲，或抽象地讲 ，抽样可在时域完成，也可在频域完成。但是，在计算机数字信号处 理领域，很少有连续的频域信号存在，故频域抽样大都只有理论意义 。n四、等间隔序列和非等间隔序列n一串数字序列的相邻元素（组成序列的成分）间的距离是任意的。这 个距离有时称为抽样间隔（如果这个
10、数字序列是从连续信号抽样而来 的话）。有时这个距离是含糊的，如基因序列，是由A、T、C、G四 个基本要素组成的。我们在判断不同种生物（如人和小鼠）的对应基 因的相似性时，可求它们之间的相关系数（首先要对A、T、C、G进 行量化） n元素间距离相等的序列称为等距（或称间隔）序列。元素间距离不相 等的序列称为非等距（或称间隔）序列。信号处理理论一大套，都是 对等距序列建立的。对于非等距序列是不适用的。面对客观存在的众 多的非等距序列，人们要把它们纳入现有信号处理理论框架的办法是 驯化它们：首先对原始非等距序列连续化：曲线拟合，然后进行等距 化：重采样，得到等距序列。n连续化等距化方法的局限性：有的
11、数据本身是离散化的，如前面提到 过的DNA序列，心电信号的R-R间期序列。连续化失去了序列存在的 意义和条件，不再是客观存在的事物及其性质。n另一出路是，无视序列元素之间的距离的差异，把它们近似地视为等 距的，计算上以其平均距离来解释其生物学（或其他序列的物理的或 化学的）意义。这个方法在计算上和保留序列的原有信息方面都是有 优越性的。 第二节 信号的正交函数表示法 n（Orthogonal Function Presentation for Signal） n信号的正交分解是提取信号特征和进一步对信号 进行处理的基本方法。在傅立叶空间进行信号的 正交分解是经典信号处理的主要内容。n一、信号的
12、多项式描述n 这里重点讨论一维信号的描述。不失一般性我 们可将信号视作单变量函数，且将自变量用t表示 ，即视为一维时变信号。n由数学分析知道，任何连续函数可展开成台劳级 数，即任何函数x(t)可用台劳多项式任意逼近：n x(t) = a n t n n = 0,1,2, (2-7)n式中, 系数an = f (n)(0)/n!, f (n)(0)表函数f(t)的n阶 导数在t=0 点的值，n!表示n的阶乘。n二、信号的正交函数表示法n(一) 正交函数的定义n(二)正交条件（2-8）式的证明n(三) 正交函数的完备性n(四) 信号的正交函数描述n(五) 正交多项式系数an的求法n三、信号的傅立叶
13、级数描述n(一)傅立叶级数的正交性(orthogonarity）n(二）信号的傅立叶级数描述n(三) 傅立叶展开式中傅立叶系数的求法n四、帕塞瓦尔定理(Parseval theorem)n五、复傅立叶级数n(一)信号的复傅立叶级数展开n(二)复指数的正交性质n(三)复傅立叶系数cn的求法n(四)复系数帕塞瓦尔定理第三节 信号的离散化n（Signal Discretization）n信号的数字处理首先要对信号进行测量(取 样)，测量的过程就是截断, 离散化及量化的 过程。对实际信号取样的细节已在第一章 讨论。这里主要讨论按傅立叶模型描述的 信号的离散化问题。 n一、数字角频率n二、数字频率n【例
14、2-1】有数字信号X(n)=3.5COS(1.5n+0.6)+1.5COS(0.3n+0.1), 高端截止 频率fc=10Hz, 求数字频率F；数字角频率0和采样频率fs 。对两分量来说， 一周期有多少个点？若采样点N = 4对两分量各有多少个周期？n解由于01= 1.5， 02= 0.3， 所以，该数字信号满足采样定理。由高 频分量确定采样频率f1s：n 数字角频率：01 = 2F1 = 1.5n 故数字频率: F1 = 1.5/2 = 0.24n 由F = f/ fs可得采样频率: fs = fc /F1 = 10/0.24 = 42Hzn 由NT = 1/F可得一周期点数: NT = 1
15、/F1 = 1/0.24 = 4.17点n 采样周期数: N1Tc= 4/N = 0.96个周期n对低频分量：数字角频率：02 = 2F2 = 0.3n 数字频率: F2 = 0.3/2= f2/ fs = 0.0477 n 信号频率: f2 = 0.3 fs/2 = F2 fs = 2.0Hzn 每周期点数: N2T = fs/f2 = 42/2 = 21点n 采样周期数: N2Tc = 4/N2 = 4/21 = 0.2周期n注:数字频率越大, 信号频率越高, 每周期样点数少, 采样周期数越多。n若已知数字频率,在确定了采样频率后,就可以确定信号各分量的频率和每周 期的采样点数。在确定了截止频率后就可确定各分量的频率和采样频率。 n采样时应由高频分量估计采样频率。n在采样点决定后（一般由屏的列数定），高频分量的周期数多而低频周期 数分量少。n【例2】已知信号x(t) = SIN( 7t+ 0.3)+2COS(16t+ 0.1) ，如果采样频率取10HZ, 求数字信号。该采样频率满足采 样定理吗
