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1、1高三数学试卷2015.1一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分1.设集合 Mx|0，Nx|(x1)(x3)0，则集合 MN_ x3x22.复数 z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，则实数 a 的取值范围是_ 3.某公司生产三种型号 A、B、C 的轿车，月产量分别为 1200、6000、2000 辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，则型号 A 的轿车应抽取_辆 4.有红心 1、2、3 和黑桃 4、5 共 5 张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是_ 5.右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_6.设an是等比数列，则
2、“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的_条件 7.取正方体的六个表面的中心，这六个点所构成的几何体的体积记为 V1，该正方体的体积为 V2，则 V1V2_. 8.如图，在ABC 中，BAC120，ABAC2，D 为 BC 边上的点，且0，ADBC2，则_. CEEBADAE29.对任意的实数 b，直线 yxb 都不是曲线 yx33ax 的切线，则实数的取值范a围是_ 10. 如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆(ab0)的右焦点 F，x2a2y2b21且两条曲线的交点连线也过焦点 F，则该椭圆的离心率为 11. 已知函数 f (x)，若 a,b,c 互不相等，且 f ( a
3、)f (b)f (c)，则 abc 的取值范围为 12. 若函数 f (x)sin(x )（0）在区间(1,0)上有且仅有一条平行于 y 轴的对称轴，4则 的最大值是_ 13. 若实数 a,b,c 成等差数列，点 P(1,0)在动直线 axbyc0 上的射影为 M，点 N(3,3)，则线段 MN 长度的最大值是_ 14. 定义：若函数 f (x)为定义域 D 上的单调函数，且存在区间(m,n)D(mn)，使得当x(m,n)时，f (x)的取值范围恰为(m,n)，则称函数 f (x)是 D 上的“正函数” 已知函数 f (x)ax (a1)为 R 上的“正函数”，则实数 a 的取值范围是 二、解
4、答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在ABC 中，A、B、C 为三个内角，f (B)4sinBcos2cos2B（）若 f (B)2，求角 B；（）若 f (B)m2 恒成立，求实数 m 的取值范围16. 正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD，且 AE平面 CDE（1）求证：AB平面 CDE；（2）求证：平面 ABCD平面 ADE3417. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、l2的距离分别为 4 米、8 米，河岸线 l1与该养殖区的最近点
5、D 的距离为 1 米，l2与该养殖区的最近点 B 的距离为 2 米（1）如图甲，养殖区在投食点 A 的右侧，若该小组测得BAD60，请据此算出养殖区的面积 S，并求出直线 AD 与直线 l1所成角的正切值；（2）如图乙，养殖区在投食点 A 的两侧，试求养殖区面积 S 的最小值，并求出取得最小值时BAD 的余弦值18. 已知椭圆 C：经过点(0,)，离心率为 ，经过椭圆 C 的右焦点 Fx2a2y2b21(ab0)312的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 x4 上的射影依次为 D、K、E（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l 交 y 轴于点 M，且，当直线 l 的倾斜
6、角变化时，探MAAFMBBF究 是否为定值？若是，求出 的值；若不是，说明理由；（3）连接 AE、BD，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由519. 设数列an的各项都是正数，且对任意 nN*，都有(a1a2a3an)2a3 1a3 2a3 3a3 n（1）求数列an的通项公式；（2）若 bn3n(1)n12an ( 为非零常数，nN*)，问是否存在整数 ，使得对任意 nN*，都有 bn1bn20. 已知函数 f (x) (m,nR)在 x1 处取到极值 2mxx2n（1）求 f (x)的解析式；（2）设函数 g(x)a
7、xlnx，若对任意的 x1 , 2，总存在唯一的 x2, e(e 为自然121e2对数的底)，使得 g(x2)f (x1)，求实数 a 的取值范围 6附加题1.已知矩阵 M，N，且 MN，1 a b 1c 2 0 d（）求实数 a,b,c,d 的值；（）求直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程2. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数)，椭圆 C 的方程为y21，试在椭圆 C 上求一点 P，使得 P 到直线 l 的距离最小3.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC，BB13，D 为 A1C1的中点，F 在线段 AA1上2
8、（1）AF 为何值时，CF平面 B1DF？（2）设 AF1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. 74.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分.（1）设抛掷 5 次的得分为 X，求变量 X 的分布列和数学期望 E(X )；（2）求恰好得到 n (nN*)分的概率8高三数学试卷参考答案高三数学试卷参考答案2015.11、(1,2)2、(1,1)3、64、5、63356、充要7、8、19、(, )10、111、(25,34)1613212、5413、514、(1, e)215、解：() f (B)4sinBcos2( )cos2B2s
9、inB(1sinB)12sin2B2sinB124B2sinB 又0B B 或12656() f (B)m2 恒成立2sinB1m2 恒成立 2sinB1m0B，2sinB 的最大值为 2，1m2 m116、证明：（1）正方形 ABCD 中，/ABCD， 又AB 平面 CDE，CD 平面 CDE，所以/AB平面 CDE（2）因为AECDE 平面，且CDCDE 平面，所以AECD，又 ABCDCDAD正方形中，且AEADA，AEADADE、平面，所以CDADE 平面， 又CDABCD 平面，所以ABCDADE平面平面17、解：（1）设AD与1l所成夹角为，则 AB 与2l所成夹角为60，对菱形A
10、BCD的边长“算两次”得36 sinsin 60， 解得3tan5，所以，养殖区的面积2 2 231sin609 1sin6042 3 (m )sintanS；（5 分）（2）设AD与1l所成夹角为，120 180BAD，则 AB 与2l所成夹角为 180，对菱形ABCD的边长“算两次”得36 sinsin 180，解得sintan2cos，9所以，养殖区的面积23sinsinS219 1sintan54cos9sin ，由254cos5cos4990sinsinS 得4cos5 ， 【要修改为：列表求最值】经检验得，当4cos5 时，养殖区的面积2 min=27(m )S 答：（1）养殖区的
11、面积为242 3 m；（2）养殖区的最小面积为227m （15 分）18、解：（1）x24y231（2）设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0) (x1,y1y0)(1x1,y1) ，同理，MAAF(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2x1x22x1x22，x1x2x1x21183（3）当 lx 轴时，易得 AE 与 BD 的交点为 FK 的中点( ,0)52下面证明：BD 过定点 P( ,0)52B、D、P 共线kBPkDP y2x2y1 y13y22x2y15y132523k(x21)2x2k(x11)5k(x11)2kx1x25k(x1x2)8k02k5k
12、8k02k(4k212)40k38k(4k23)0 成立得证同理，AE 过定点 P( ,0)，直线 AE 与 BD 相交于一定点( ,0)5252【注】：书写可证明：kBPkDP，证明值为 01019、证明：(1)在已知式中, 当 n1 时, a10a11a3 1a2 1当 n2 时, (a1a2an)2a3 1a3 2a3 3a3 n(a1a2an1)2(n2)a3 1a3 2a3 3a 3n1由得, an2(a1a2an1)an (n2) an0a3 n2(a1a2an1)an(n2) a2 n2(a1a2an2)an1(n3) a 2n1得, 2an1anan1an1an (n3)a2
13、na 2n1an1an0, anan11(n3),a11，a22a2a11anan11(n2) 数列an是等差数列,首项为 1,公差为 1, 可得 ann（2） ann, bn3n(1)n12nbn1bn3n+1(1)n2n+13n(1)n12n23n3(1)n12n0(1)n1( )n132当 n2k1,k1,2,3,时, 式即为( )2k232依题意, 式对 k1,2,3,都成立, 1当 n2k,k1,2,3,时, 式即为( )2k132依题意, 式对 k1,2,3,都成立 32 1 又0, 存在整数1, 使得对任意 nN*, 都有 bn1bn3220、解： （1）f (x)由 f (x)在 x1 处取到极值 2，0，2,，经检验，此时 f (x)在 x1 处取得极值，故 f (x)（2）记 f (x)在 ,2上的值域为 A，函数 g(x)在,e上的值域为 B， 121e2由（1）知：f (x) f (x)在 ,1上单调递增，在(1,2上单调递减，12由 f (1)2，f (2)f ( ) ，故 f
