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1、第二章 导热基本方程和稳态导热理论 主要研究内容：n导热基本定律及导热系数 n导热微分方程式及定解条件 n平壁、圆筒壁、球壁的稳态导热n通过肋片的导热及散热量的计算 2-1 导热基本定律及导热系数1 几个基本概念（1）温度场：导热体中某时刻空间所有各点的温度分布。时间和空间的函数：稳态温度场：非稳态温度场：三维非稳态温度场：三维稳态温度场：二维稳态温度场：一维稳态温度场：（2） 等温面和等温线将温度场中某一时刻温度 相同 的点连接起来所形成的面 或线 称为等温面或等温线。 浇注15分钟后砂型中的温度场等温面和等温线的特点：1. 不能相交； 2. 对于连续介质，只能在物体边界 中断或完全封闭；
2、3. 沿等温面无热量传递； 4. 等温线的疏密可直观反映出不同 区域热流密度的相对大小。（3） 温度梯度沿等温面法线方向上的温度 增量与法向距离比值的极限。温度梯度和热流密度温度梯度是向量，垂直于等温面，正向朝着温度增加的方向； 温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。mn温度梯度的解析定义：温度场 中点 处的温度梯度：hamilton算子，经此演算，标量场变成了矢量场。nablagradgradient为什么这样定义，它的意义是什么?温度场中 方向的方向导数：当 与 方向相同时：达到最大。梯度方向的方向导数最大，其值等于梯度的模。 即，梯度方向是温度变化最大的方向。设等温面方程：在点 处,等温
3、面的法线向量平行于梯度方向垂直于等温面。温度梯度垂直于等温面吗？两个定义一致，解析定义便于计算（4） 热流密度热流密度是指单位时间经过单位面积所传递的热量，用 q 表示，单位为 。 热流量是指单位时间内通过面积F所传递的热量，用Q表示， 单位为W。热流密度和热流量都是矢量，它们和温度梯度位于等温面的 同一法线上，且沿温度降低方向为正 。总热量是指在时间 内通过面积F所传递的热量，用Q表 示，单位为J或kJ。 2 导热基本定律Fouriers Law导热的热流密度与温度梯度成正比，即：导热系数，物性值。单位为W/(mK)。 负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。 热流密度为矢量，其在x、y、z
4、轴上的投影用 傅立叶定律表示为： 对于一维导热问题：3 导热系数导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出 (1)物理意义：表示了物质导热能力的大小，是在单位温度梯度作用下 的热流密度。工程计算采用的各种物质的导热系数值都是由 专门实验测定出来的。 （2）影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等常用物质的 值20时铜 399 W /(m.K)钢（含碳量） 36.7 W /(m.K)水 0.599 W /(m.K)空气 0.0259 W /(m.K)（3）不同物质的导热系数不同的原因：构造差别，导热机理不同a.气体的导热系数机理：由分子的热运动和相互碰撞产生的能量传递。气体导热机
5、理示意图特点：1.气体的导热系数几乎不随压力的改变而变化。2.随温度的升高而增大。3.随分子质量的减小而增大。几种气体导热系数和温度的关系b.液体的导热系数机理：主要依靠晶格的振动。特点： 随压力的升高而增大 随温度的升高而减小饱和条件下非金属液体的 导热系数和温度的关系c. 固体的导热系数机理：纯金属主要依靠自由电子的迁移，合金和非金属 主要依靠晶格的振动传递能量特点：纯金属：合金和非金属：保温材料：国家标准规定，温度低于350时热导率小 于0.12w/(m.k)的材料（绝热材料）金属的导热系数导热系数对温度的依变关系(4)变导热系数当导热系数随温度变化较大时，必须考虑温度的影响， 一般可表
6、示为：2-2 导热微分方程及定解条件目的：确定导热体内部温度的分布 , 从而进一步用傅里叶定律计算换热量、计算热应力。1 导热微分方程式的推导2 理论基础：Fourier定律+能量守恒定律 导热微分方程 式3 假设: (1)所研究的物体是各项同性的(isotropic)连续介质；(2)热导率、比热容和密度皆为已知；(3)物体内具有均匀分布内热源，热源强度 ；单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。在导热体内任意取出一微元体，根据能量守恒定律，在 时间内：导入微元体的总热流量+微元体内热源生成的热量=微元体焓（内能）的增量热流密度为矢量，净导入微元体的热量写成三个方向的 净热量之和，即：根据傅立
7、叶定律，在 时间内X方向导入微元体的净热量为：净导入=导入-导出同理可得,y，z方向净导入微元体的热量为：x，y，z三个方向净导入的热量为：时间内微元体的发热量为： 时间内微元体的焓值变化为：将上述式代入能量守恒定律得：三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方 程的一般形式。2 几种特殊情况若物性参数， ，均为常数无内热源，常物性：稳态，常物性：稳态，常物性，无内热源：简写为：圆柱坐标下的拉普拉斯方程：球坐标下的拉普拉斯方程：常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程：3 定解条件（单值性条件）导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界几何条件：说明
8、导热体的几何形状和大小，它确定了研究问 题的空间区域，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等；物理条件：说明导热体的物理特征，包括材料的热物性和有 无内热源等时间条件（初始条件）：给定过程初始时刻所研究范围（包 括边界）内的温度分布，其数学式为边界条件：说明了所研究对象的边界上的换热情况。常见的 有以下三类边界条件： 第一类边界条件 第二类边界条件：给定物体表面上热流密度的分布随时间的 变化 。非稳态导热：最简单的情况：稳态：a.非稳态导热：b.最简单的情况：c.稳态时:第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面方向温度梯度值 。特例：绝热边界面 第三类边界条件：当物体壁面与流体相接触进行对流换热时
9、，已知物体边界上的对流换热系数和周围流体的温度 。牛顿冷却定律傅里叶定律坐标轴与n同向：坐标轴与n反向：注意： a =0时，绝热边界条件a，第一类边界条件n xx2-3 单层及多层平壁的稳态导热2.3.1 单层平壁的稳态导热 几何条件：单层平板厚度为 物理条件：，c，已知，无内热源 时间条件：稳态导热 边界条件：第一类边界条件工程中很多情况下可以忽略平壁面内的传热，仅考虑厚向传热根据上面的条件可得：第一类边界条件：直接积分：带入边界条件：带入傅里叶定律得热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况2.3.2 变导热系数时单层平壁的稳态导热 对于上面大平壁的稳态导热问题，其它条件不变，只是导热 系
10、数不为常数，而是随温度变化的线性函数 则热流密度，由于热量密度为常数，对上式分离变量积分： 式中：热流量为： 温度场：此问题的导热微分方程为： 边界条件为： 积分得： 代入边界条件，得 所以解之得： 温度分布曲线热流密度和热流量也可以由傅立叶 定律和所求得的温度场来确定。 q稳态导热的热流密度，为常数 2.3.3 多层平壁的稳态导热 三层平壁的稳态导热u多层平壁：由几层不同材料组成u假设各层之间接触良好，可以近似的 认为结合面上各处温度相等u边界条件：（两端的温度）u热阻：由热阻分析法：热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况问：现在已知q,如何计算其中第i层的右侧壁温？第一层：第二层：.第
11、i层：接触热阻图2-10 固体表面的实际接触情况固体两个表面不可能处处接触，在离开部分形成空隙，在空隙 中常常充满空气。热量将以导热和辐射的方式穿过这个气隙层。 这种情况与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加热阻， 称之为接触热阻 由于接触面的情况比较复杂，接触热阻主要靠实验测定。减小接触热阻的措施。2.4 无限长圆筒壁的稳态导热假设圆筒的长度为 ,圆壁筒的外半径小 于长度的1/10，忽略轴向、周向传热一维、稳态、无内热源、常物性：第一类边界条件：单层圆筒壁对上述方程（a）积分两次得：第二次积分第一次积分应用边界条件获得两个系数将系数带入第二次积分结果温度呈对数曲线分布圆筒壁内温度分布：圆筒
12、壁内温度分布曲线的形状？圆筒壁内部的热流密度和热流分布圆筒壁单位长度的热流密度 圆筒壁稳定导热时，沿半径方向的热流量不变， 则圆筒壁单位长度的热流密度也不变。 w/mn层圆筒壁：由不同材料构成的n层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和 总热阻计算通过单位长度圆 筒壁的热流量已知多层圆筒壁各层的导热系数、直径及两侧面的温度，如何 求各层交界面上的温度？其他变面积或变导热系数问题求解导热问题一般分两步：求解导热微分方程，获得温度场；根据傅里叶定律和已获得温度场计算热流量。对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导 热问题，可以不通过温度场直接获得热流量，此时 ，一维傅里叶定律：分离变量后，注意到热流
13、量Q与x无关（稳态），得：当 随温度线性分布时，即 ，则 实际上，不论 如何改变，只要能计算出平均导热系数，就 可以利用前面所讲过的所有定导热系数的公式，只是需要将换成平均导热系数。例题2-3就是将 换成 计算的。例题2-3 为了减少热损失和保证安全工作条件，在外径为133 mm的蒸汽 管道外覆盖保温层。蒸汽管外壁温度为400。按电厂安全操作规定，保 温材料外侧温度不得超过50。如果采用水泥珍珠岩制品作保温材料，其 导热系数为 W/(mK)，(其中t的单位为)， 为 常数。为把每米长管道的热损失控制在 465 W之下，问保温层厚度至少应 为多少毫米？ 解 为确定导热系数值，先算出保温材料的平均
14、温度：平均导热系数为：由单层圆筒壁的导热计算公式: 保温层厚度为：dI解： 电流通过电热丝将发热，假定发热是均匀的。则此问题是无限长圆柱体内具有均匀热源的稳态导热问题 .t 圆柱坐标形式导热微分方程：对于该问题例题2-4 一电热丝直径为2.03mm，电阻率 ， 导热系数 ， 为常数，稳态时通过电热丝的 电流为150A。试确定中心线上的温度比表面温度高多少？dIt边界条件：（1）（2）Why？绝热面积分两次，得：若要使 时上式有意义，必须又由边界条件（1）：也可得：由边界条件（3）得：热源强度 W/m3 则所以2-6 球壁的稳态导热已知：空心球体，求：温度场和热流量解：导热微分方程球坐标拉普拉斯
15、方程：常物性、无内热源的一维稳态导热问题 所以边界条件： 积分两次，得： 利用边界条件，可求出积分常数： 则温度场为： 半径不同，穿过不同等温面的热流密度也不相同，但热流量不变 由傅立叶定律可求出热流量 单层球壁的导热热阻 利用热阻串联的概念，则多层球壁导热的热流量计算公式为：多层球壁的导热热阻。 例题2-5 用球壁导热仪测定珠光砂（膨胀珍珠岩）的导热系 数，该装置结构如图所示。两同心空心球壳均由很薄的紫铜 板制成，其热阻可忽略不计。内外层之间紧实地充填了珠光 砂，内层空心球壳中装有电阻丝，通电所产生的热量通过内 层球壁、珠光砂及外层球壁散发出去。内外层球壳的直径 分别为80mm、160mm。稳定导热情况下测得内外层球壁的 表面温度、分别为87.4和47.
