求次函数解析式课

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1、用待定系数法求二次函数解析式1、已知抛物线线y=ax2+bx+c 0经过经过 点（-1,0），则则_经过经过 点（0,-3），则则_ 经过经过 点（4,5），则则_对对称轴为轴为 直线线x=1，则则_当x=1时时，y=0，则则a+b+c=_ab 2-=1a-b+c=0 c=-316a+4b+c=5顶顶点坐标标是（-3,4）， 则则h=_,k=_，-3a（x+3）2+442、已知抛物线线y=a（x-h）2+k对对称轴为轴为 直线线x=1，则则_代入得y=_代入得y=_h=1a（x-1）2+k抛物线线解析式抛物线线与x轴轴交点坐标标 (x1,0),( x2,0)y=2(x-1)(x-3)y=3(x

2、-2)(x+1)y=-5(x+4)(x+6)-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),( x2,0)y=a(x_)(x_) （a0）交点式抛物线线解析式抛物线线与x轴轴交点坐标标 (x1,0),( x2,0)-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),( x2,0)y=a(x_)(x_) （a0）交点式y=a(x-1)(x-3)（a0）y=a(x-2)(x+1)（a0）y=a(x+4)(x+

3、6)（a0）若抛物线与x轴的两个交点的横坐标分 别为x1、x2，那么对称轴方程为：x=(x1+x2)/2交点式 y=a(x-x1)(x-x2)小结(1)二次函数解析式的三种表示形式(1)一般式(2)顶点式(3)交点式（一）方法：例1.已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点，求此函数的解析式。解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 图象过A(2,-4), B(0,2) ，C(-1,2) 4a+2b+c = - 4c=2a-b+c=2 解得 a=-1,b=-1，c=2 函数的解析式为： y=-x2-x+2一、设 二、代 三、解 四、还原方法（一） ：1. 一般式

4、： y=ax2+bx+c (a0)已知图象上任意三点坐标，特别是已知函 数图象与y轴的交点坐标（0，c）时，使用 一般式很方便。解：设所求的二次函数为 解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （1, 0）三点，求这个函数的解析式？二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a= b= c=y=ax2+bx+c-3所求二次函数为1 -2y=x2-2x-3解：设所求的二次函数为 已知抛物线的顶点为（1，4）， 且过点（0，3），求抛物线的解析式？又点( 0,-3)在抛物线上a-4=-3, 所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4

5、顶点为（1，4） a=1y=a(x-1)2-4y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2-4 例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。 解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c 由题意知16a+4b+c = -3-b/2a = 3(4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7b= 42c= -59 二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59解法2：（利用顶点式） 设二次函数解析式为： y=a(x-h)2+k 当x=3时，有最大值4 顶点坐标为(3,4) y=a(x-3)2+4 函数图象

6、过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 y= -7(x-3)2+4= -7x2+42x-59 二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。解：设所求的二次函数为 已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)已知对称轴方程x=h、最值k或顶 点坐标（h,k） 时优先选用顶点式。解：设所求的二次函数为 y=a(x-

7、x1)(x-x2) a(0+1)(0-3) =-3已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？所求二次函数为y=x2-2x-3 y=a(x+1)(x-3)过（-1,0） （3,0 ） 过（0, -3）a=13交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，或 一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐 标时选用两根式比较简便例4 已知二次函数图像 如图所示，求其解析式解法一： 设解析式为A(-1,0)在抛物线上 a = -1即：(a0)结果需化成一般式例4 已知二次函数图像 如图所示，求其解析式解法二： 设解析式为顶点C（

8、1，4）对称轴 x=1 A(-1,0)、B点关于 x=1对称 B（3，0）A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，解得所以(a0)例4 已知二次函数图像 如图所示，求其解析式解法三：设解析式为顶点C（1，4）对称轴 x=1 A(-1,0)、B点关于 x=1对称 B（3，0）又C（1，4）在抛物线上，即(a0) a = -1顶点是（0，0）设： y=ax顶点在y轴上设： y=ax+k顶点在x轴上设：y=a(x-h)特殊的设法：二次函数y=ax2+bx+c1、对称轴是直线x=2，经过点（0，-2）和点（2，0）.2、经过点（0，-2）且当x=2时，y取得最大值y=0。3、当x2时，y

9、随x的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小，且经过点（0，-2）和点（2，0）。4、抛物线y=x2-4x+c顶点在x轴上。例5 将抛物线 向左平移4 个单位，向下平移3个单位，求平移后抛 物线解析式平移不改变形状，只改变位置 选择顶点式 解： =（x+1)2+5顶点（-1，5）平移后顶点（-5，2） y=(x+5)2+2 即y=x2+10x+27 例6 已知抛物线过（1，1）和（4，4）且顶点在x轴上，求抛物线解析式解：设解析式为(1,1)、（4，4）在抛物线上(a0)解得或或即（三）练习题二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式。解法1：（一般式）

10、设二次函数解析式为y=ax2+bx+c二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 -得： 2b=4 b=2代入、得：a+c=2 9a+c=-6 - 得：8a=-8 a= -1代入 得：c=3 函数的解析式为：y= -x2+2x+3解法2：（顶点式） 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， 1=(-1+3)/2 点(1,4)为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k y=a(x-1)2+4 抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4=

11、-x2+2x+3解法3：（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) 函数图象过点(1,4) 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 函数的解析式为：y= -1(x+1)(x-3)= -x2+2x+3根据下列条件求二次函数解析式 (1)抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点 解法:抛物线过一般三点通常设一般式将三点坐标代入求出a,b,c的值 解:设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c (a0) 则解得：所求的抛物线解析式为:(2)抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2) 解法(一)可

12、设一般式列方程组求a,b,c 解法(二)可设顶点式解:抛物线的顶点为(2,-1)设解析式为:y=a(x-2)2-1把点(-1,2)代入a(-1-2)2-1=2(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式解:抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) 设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2解得 a=1 所求解析式为y=(x-2)(x+1)即:y=x2-x-2另一些例题讲解:1.若抛物线y=x2-4x+c(1)过点A(1,3)求c(2)顶点在X轴上求c(1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解

13、析式求得 c=6(2)顶点在X轴上解析式特点 （完全平方式）（或根据顶点的纵坐标为0）求得:c=42,若抛物线 y=ax2+2x+c的对称轴是直线 x=2且函数的最大值是 -3,求 a,c分析:实质知道顶点坐标(2,-3)且为最高点抛物线开口向下解:解得3.图象与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3分析:函数最小值:-3即顶点纵坐标但隐藏着抛物线开口向上这个条件可设一般式来解.但比较繁可设交点式来解求得的解析式为:y=12x2-60x+724, 求下列二次函数解析式(1)抛物线 y=x2-5(m+1)x+2m的对称轴是y轴所求的解析式为:y=x2-2(2)y=(m-3)x2+mx+m

14、+3的最大值是0(3)y=ax2+bx+c且a:b:c=2:3:4,函数有最 小值解得:y=4x2+6x+8(4)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2),且 a+b+c+2=05,思考题:（求下列二次函数解析式）(1)若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是直线x=2,且最高点在直线 上 解法:可先求出顶点坐标(2,2)再由题意得解得:m=-1n=-2即：y=-x2+4x-2(2)若抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)且顶点在直线y=3x-2上解法：可抓住顶点在直线y=3x-2上设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)来解所求得的抛物线解析式为：解析式的求法解析式使用范围围1.

15、一 般式已知任意三个点2.顶顶 点式y=ax2+bx+cy=a(x+h)2+k1)已知函数与x轴只有一个交点（或函数的顶点在x轴上）k=03.特殊 式 3)已知任意三点，其中两点是函数与x轴两交点2)已知函数图象的顶点在y轴上h=01)已知顶点 （-h,k)及另一点2)平移变换4交点式； y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与 x轴的两个交点 的坐标，或一 个交点的坐标 及对称轴方程 或顶点的横坐 标时选用两根 式比较简便九年级九年级 数学数学富阳永兴中学富阳永兴中学二次函数y=ax2+bx+c的图象特殊位置：顶点在y轴上顶点在x轴上b=0顶点在原点上b=0，c=0图象经过原点c=0图象经过(1,2)a+b+c=2顶点在y=2x-1上例1已知抛物线y=x2+mx+2m-m2,根据下列条件求m 值(1) 抛物线经过原点(2) 抛物线的顶点在x轴上(3) 抛物线的顶点