整数规划与分配问题运筹学

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1、运筹学讲授：毕德春辽东学院信息技术学院信息管理系Date1运筹学第4章 整数规划与分配问题第4章 整数规划与分配问题Date2运筹学第4章 整数规划与分配问题例4.1 某服务部门各时段（每2小时为一时段）需要的服务员人数如下表，按规定，服务员连续工作8小时（即4个时段）为一班，现要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最小。时时段12345678服务员务员最少数目108911138534.1 整数规划问题的数学模型Date3运筹学第4章 整数规划与分配问题解：设在第j时段开始时上班的服务员人数为xj，由于第j时段开始时上班的服务员将在第(j+3)时段结束时下班，故决策变量只需考虑x1,x

2、2,x3,x4,x5，此问题的数学模型为：Date4运筹学第4章 整数规划与分配问题此类问题数学模型的一般形式为：求一组变量X1,X2,Xn，使 Date5运筹学第4章 整数规划与分配问题例4.2 某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益如下表。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必须选择一项且仅需选择一项；B和D之间需选择也仅需选择一项；又由于C和D两项目密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件，该单位共筹集资金15万元，问应该选择哪些项目投资，使期望收益最大？项项目所需投资额资额（万元）期望收益（万元） A610B48C27D46E59Date6运筹学第4章 整数规划与分

3、配问题解：决策变量：设目标函数：期望收益最大约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1归纳起来，其数学模型为：Date7运筹学第4章 整数规划与分配问题上面此例表明，利用0-1变量处理一类“可供选择条件”的问题非常简明方便。下面再进一步分别说明对0-1变量的应用。假定现有m种资源对可供选择的n个项目进行投资的数学模型为：求一组决策变量X1,X2,Xn，使 Date8运筹学第4章 整数规划与分配问题根据变量取整数的

4、情况,将整数规划分为：（1）纯整数规划，所有变量都取整数.（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数（3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1对决策变量只限于不能取负值的连续型数值，即可以是正分数或正小数。然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题，称为整数规划(Integer Programming)(简记为IP)。又称约束条件和函数均为线性的IP为整数线性规划(Integer Linear Programming)(简记为ILP)。Date9运筹学第4章 整数规划与分配问题考虑纯整数问题：整数问题的松弛问题：Date10运筹学第4章

5、整数规划与分配问题求解ILP问题方法的思考：“舍入取整”法：即先不考虑整数性约束，而去求解其相应的LP问题（称为松驰问题），然后将得到的非整数最优解用“舍入取整”的方法。这样能否得到整数最优解？但在处理个别实际问题时，如果允许目标函数值在某一误差范围内，有时也可采用“舍入取整”得到的整数可行解作为原问题整数最优解的近似。这样可节省求解的人力、物力和财力。Date11运筹学第4章 整数规划与分配问题例4.3 设整数规划问题如下 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（松弛问题）。Date12运筹学第4章 整数规划与分配问题用图解法求出最优解x13/2, x2 = 10/3且有Z = 29/6x1x

6、233(3/2,10/3)现求整数解（最优解）：如用“舍入取整法”可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。Date13运筹学第4章 整数规划与分配问题因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分支定界法，对于特别的01规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。Date14运筹学第4章 整数规划与分配问

7、题在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高（或所需时间最少），这类问题称为指派问题或分派问题。4.2 分配问题与匈牙利法Date15运筹学第4章 整数规划与分配问题分配第i个人去完成第j项任务不分配第i个人去完成第j项任务例4.4 有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长不同，他们完成翻译不同文字所需的时间（h）如下表，应如何分配，使

8、这四个人分别完成这四项任务总的时间为最小？Date16运筹学第4章 整数规划与分配问题Date17运筹学第4章 整数规划与分配问题u分配问题的数学模型：设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第I 个人去做第j 件工作的的效率（ 时间或费用）为Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假设Cij 0。问应如何分配才能使总效率（ 时间或费用）最高？设决策变量 1 分配第i 个人去做第j 件工作xij =0 相反 ( I,j=1.2. n )其数学模型为：Date18运筹学第4章 整数规划与分配问题4.2.2匈牙利法指派问题是0-1 规划的特例，也是运输问题

9、的特例，当然可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。 第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即（1）从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；（2）再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。Date19运筹学第4章 整数规划与分配问题第二步：进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对

10、应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：（1）从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作 。然后划去 所在列(行)的其它0元素，记作 ；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。（2）给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作；然后划去 所在行的0元素，记作 （3）反复进行（1） ， （2）两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。Date20运筹学第4章 整数规划与分配问题（4）若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的

11、那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。 （5）若 元素的数目m 等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m Z(5) F如对 Z(6) 继续分解，其最小值也不会低于15.5 ，问题探明,剪枝。Date62运筹学第4章 整数规划与分配问题至此，原问题（IP）的最优解为：x1=2， x2 =3, Z* = Z(5) 17以上的求解过程可以用一个树形图表示如右：LP1 x1=1, x2=3 Z(1) 16LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) 19.8LP2 x1=2, x2=1

12、0/3 Z(2) 18.5LP3 x1=12/5, x2=3 Z(3) 17.4LP4 无可 行解LP5 x1=2, x2=3 Z(5) 17LP6 x1=3, x2=5/2 Z(6) 15.5x11x12x23x24x12x13 Date63运筹学第4章 整数规划与分配问题练习：用分枝定界法求解整数规划问题（图解法）Date64运筹学第4章 整数规划与分配问题LP1 x1=1, x2=7/3 Z(1) 10/3LP x1=3/2, x2=10/3 Z(0) 29/6LP2 x1=2, x2=23/9 Z(2) 41/9x11x12LP5 x1=1, x2=2 Z(5) 3LP6 无可 行解x

13、22x23LP3 x1=33/14, x2=2 Z(3) 61/14LP4 无可 行解x22x23LP7 x1=2, x2=2 Z(7) 4LP8 x1=3, x2=1 Z(8) 4x12x13 Date65运筹学第4章 整数规划与分配问题LP1 x1=1, x2=7/3 Z(1) 10/3LP x1=2/3, x2=10/3 Z(0) 29/6LP2 x1=2, x2=23/9 Z(2) 41/9LP3 x1=33/14, x2=2 Z(3) 61/14LP4 无可 行解LP7 x1=2, x2=2 Z(7) 4LP8 x1=3, x2=1 Z(8) 4x11x12x22x23x12x13D

14、ate66运筹学第4章 整数规划与分配问题3200CB XB b x1x2x3x40x3921109/20x414230114/2-Z032003200CB XB b x1x2x3x43x113/4103/4-1/42x25/201-1/21/2-Z-59/400-5/4-1/4解:用单纯形法解对应的(LP)问题,如表所示,获得最优解。初始表最终表例4.10 用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）Date67运筹学第4章 整数规划与分配问题x1=13/4 x2=5/2 Z(0) =59/414.75选 x2 进行分枝，即增加两个约束，2 x2 3 有下式：分别在(LP1)和(LP2)中引入松

15、弛变量x5和x6 ，将新加约束条件加入上表计算。即 x2+ x5= 2 , x2+x6=3 得下表:Date68运筹学第4章 整数规划与分配问题32000CB XB b x1x2x3x4x53x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5201001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x5-1/2001/2 -1/21-Z-59/400-5/4-1/403x17/2101/20-1/22x22010010x4100-11-2-Z-29/200-3/20-1/2x1=7/2, x2=2 Z(1) =29/

16、2=14.5继续分枝，加入约束3 x1 4LP1Date69运筹学第4章 整数规划与分配问题32000CB XB b x1x2x3x4x63x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-30-1001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200x6-1/200-1/2 1/21-Z-59/400-5/4-1/403x15/21001/23/22x230100-10x31001-1-2-Z-27/2000-3/2-5/2LP2x1=5/2, x2=3 Z(2) =27/2=13.5 Z(2) Z(1) 先不考虑分枝Date70运筹学第4章 整数规划与分配问题