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1、1.1 命题及其关系1.1.1 命题学好要领学好要领不能不能能下列句子中，你能判断它们的真假吗？下列句子中，你能判断它们的真假吗？ 若直线若直线a ab b，则直线，则直线a a和直线和直线b b无公共点无公共点画一个角等于已知角；画一个角等于已知角；刘翔是世界冠军；刘翔是世界冠军；垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行请借我一枝钢笔。请借我一枝钢笔。玫瑰花是动物。玫瑰花是动物。熊猫没有翅膀。熊猫没有翅膀。若若a a2 2 b b2 2，则，则a ab b。能能 能能能命题：语句都是陈述句， 并且可以判断真假。真命题：判断为真的语句。假命题：判断为假的语句。例1.判断下列
2、语句是不是命题？是真命题还是假命题判断一个语句是不是命题，关键看这语 句是否符合：1)空集是任何集合的子集2)若整数a是素数，则a是奇数. 3)指数函数是增函数吗？4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行.5) 6)X15 疑问句不能判断真假真命题假命题假命题语句是否是陈述句 是否可以判断真假。真命题P4 练习 2判断下列命题的真假1）能被6整除的整数一定能被3整除。2）若四边形四条边都相等，则这个四边形是正方形3）二次函数的图像是一条抛物线。4）两个内角等于45的三角形是等腰三角形真命题假命题真命题真命题“若p则q”形式的命题命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具 有“若p则q”的形式。
3、 pl通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。l“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。l“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别.q例2 指出下列命题中的条件p和结论q：l若整数a能被2整除，则a是偶数；l若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。解：1) 条件p： 结论q：2) 条件p：结论q：整数a能被2整除整数a 是偶数四边形是菱形四边形的对角线互相垂直且平分把下列命题改写成“若p则q”的形式, 并判定真假。 （1） 负数的平方是正数. （2） 正方形的四条边相等. （3） 等腰三
4、角形两腰的中线相等 （4） 面积相等的两个三角形全等. （5）偶函数的图象关于y轴对称（6）垂直于同一个平面的两个平面平行 （7）对顶角相等真命题 真命题真命题 假命题 真命题 假命题真命题1.1.2 四种命题下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；2.若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；3.若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；4.若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。(1)与(2) ：可以发现命题(1)与(2)的像这样，一般地，对于两个命题，如果一个命 题的条件和结论分别
5、是另一个命题的结论和条 件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题 ，其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题 的逆命题。 (1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； (2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；条件与结论互换了观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？若原命题为：若p,则q 则它的逆命题为：若q,则p例：将命题“若a=0,则ab=0”的条件和结论 互换，得到它的逆命题逆命题逆命题若ab=0,则a=0可以发现(3)的条件和结论恰好是(1)的像这样，一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个 命题叫做互否命题，其中一个叫
6、原命题，另一个 叫原命题的否命题.（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（3 ）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？条件和结论的否定因此若原命题为“若p,则q”， 则否命题为：若 p,则 q”否命题否命题例如：若a=0,则ab=0否命题为：若a0,则ab0.一般地，把条件p,结论q的否定分别记作“ p, q”, 读作“非p”、“非q”.思考：真命题假命题真命题真命题（4）的条件恰好是（1）的 （4）的结论恰好是（1）的像这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中 一个叫原命题，另一个叫原命题的逆否命题。（1）若f(x
7、)是正弦函数，则f(x)是周期函数；（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分 别有什么关系？结论的否定, 条件的否定.我们发现即若原命题为：“若p,则q”, 则它的逆否命题为“若 q,则 p”如“若a=0,则ab=0”的逆否命题为:若ab0,则 a0.逆否命题 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p四种命题的形式：例1并写出它们的逆命题、否命题与逆否 命题解：如果x0,那么x10否命题：逆否命题：(1) 如果x10,那么x0逆命题：(2) 正方形的四条边相等. 解: 原命题可写成：若一个四边形是正
8、 方形，则它的四条边相等； 逆命题：若一个四边形的四条边相等， 则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则 它的四条边不相等； 逆否命题：若一个四边形的四条边不相 等，则它不是正方形.练习写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题 ，并判断它们的真假： （1）若一个整数的末位数字是0或5，则这个整数能被5整除 （2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等 （3）奇函数的图像关于原点对称例2 写出命题“若xy0，则x0或y0” 的逆命题、否命题、逆否命题。解： 逆命题：若 x = 0或 y = 0， 则 xy = 0; 否命题：若 xy 0， 则 x 0且 y 0; 逆否命题：若
9、 x 0且 y 0 ， 则 xy0。“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”准确地写出否定形式是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式. 正面 词语词语等于 大于小于是都是否定不等于不大于 不小于不是不都是正面 词语词语全至少有 一个能P或qP且q否定不全一个也 没有不能非p且 非q非p或 非q练习1. 命题“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题 是( )A. a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B. a+b是偶数 ,则a,b都是奇数C. a+b是偶数 ,则a,b都不是奇数 D. a+b不是偶数,则a,b不都是奇数;D作业：写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断各命题的真
10、假：（1）菱形的四条边都相等（2）若 ，则 且（3）若 则上述四种情况概括如下： （1）“若p,则q”为原命题，则 （2）“若q,则p”为逆命题 （3）“若 p,则 q”为否命题 （4) “若 q,则 p”为逆否命题 由上可得四种命题之间的关系：原命题（若p， 则q）否命题（若 非p，则非q)逆否命题（若 非q,则非p)逆命题（若q， 则p)互逆互逆互 否互 否互为逆否四种命题的关系四种命题的真假例1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。 （1）若x2+y2=0,则x,y全为0; （2）若ac2bc2,则ab; （3）等底等高的两个三角形是全等三角形; （4）若x1.原命题逆命
11、题否命题逆否命题真真真真真真真真假假假假假假假假归纳可得，四种命题的真假性有且仅有上面四种关系.四种命题之间的真假关系：1原命题为真，它的逆命题不一定为真2原命题为真，它的否命题不一定为真3原命题为真，它的逆否命题一定为真若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断 一定正确的是（ ）A.命题p是真命题 B.命题p的否命题是假命题C.命题p的逆否命题是一个假命题D.命题p的否定是真命题例2.设原命题是：当c0时，若ab，则acbc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。并分别 判断它们的真假.当c0时，若acbc, 则ab.当c0时，若ab, 则acbc.当c0时，若acbc, 则ab.（真）（
12、真）（真）分析：“当c0时”是大前提，写其它命题时应该保留 。原命题的条件是“ab”，结论是“acbc”.解：逆命题：否命题：逆否命题：例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命 题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。若m+n0，则m0或n0。若m0且n0, 则m+n0.若m+n0, 则m0且n0.（真） （真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假一致，逆否命题与原命 题真假一致。否命题： 逆否命题：解：逆命题:1.原命题“若a0且b0,则ab0”的逆否命题 为若ab
13、=0,则a=0或b=0（真）2.设原命题是：“已知a,b是实数，若a+b是无 理数，则a,b都是无理数”.写出它的逆命题、 否命题、逆否命题。并分别说明它们的真假.1、2、课后思考题1.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式就是：2.由四种命题表述可知，要写出原命题的逆命题、否命题与逆否命题,关键是找出原命题的条件p与结论q。若 p则 q 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若 q则 p 若p则q 若q则p (交换原命题的条件和结论) (同时否定原命题的条件和结论 ) (交换原命题的条件和结论， 并同时否定)小结:四种命题原命题逆命题否命题逆
14、否命题真假 一致真假 一致若 p则 q 若 q则 p 若p则q若q则p 解：（1）逆命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0为真命题 用反证法证明：假设ab0，则ab，ba f(x)在（，）上为增函数，则 f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b)，这与题设相矛盾，所以， 逆命题为真 （2）逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab 0，为真命题 因为原命题的真假与它的逆否命题真假相同，所以可证 明原命题为真命题 ab0，ab，ba，又f(x)在(，) 上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b) 逆否命题为真
