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1、第十一章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 一阶线性微分方程 第四节 一阶微分方程的应用举例第五节 可降阶的二阶微分方程第六节 二阶常系数齐次线性微分方程第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程第八节 二阶微分方程的应用举例在几何、物理、力学及其他工程实际问题中,人们经常根据问题提供的条件寻找函数关系,可是在许多问题中,往往不能直接找出所研究的函数关系,而有时却可以列出所研究的函数及其导数之间的关系式,这种关系式就是所谓微分方程,微分方程建立后,再通过求解微分方程,可以得到所要寻求的未知函数.本章主要介绍微分方程的基本概念和常见的几种类型的微分方程及其解法
2、,并通过举例给出微分方程在实际问题中的一些简单应用. 第一节 微分方程的基本概念我们先通过几个实例来说明微分方程的基本概念.3 21yxO图 11-1Ox地面 图 11-2h微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数， 称为微分方程的阶.例如，例1中的（1）式是一阶微分方程，例2中 的（5）式是二阶微分方程.如果将某个函数及其导数代入微分方程中，使该 方程左边恒等于右边，则称此函数为微分方程的解.例如，例1中的（3）和（4）式所表示的函数都 是方程（1）的解；例2中（8）和（9）式都是方程（ 5）的解.如果方程的解中所含相互独立的任意常数的个数 与方程的阶数相同，这种解称为为微分方程的通解.例如
3、，例1中的（3）式是方程（1）的通解；例2 中的（8）式是方程（5）的通解.若给方程通解中的所有任意数以确定的值，就得 到微分方程的特解，即不包含任意常数的解，称为微 分方程的特解.例如，例1中的（4）式是方程（1）的特解；例2 中的（9）式是方程（5）的特解.所有任意常数的确定，要根据方程所给出的附加 条件，在本课程中所指附加条件就是初始条件.例如，例1中的（2）式是方程（1）的初始条件； 例2中的（6）式是方程（5）的初始条件.作业：习题11-1，2（1，3，5，7），3（1，3）第二节 可分离变量的微分方程M M0Ot图11-3有的微分方程通过适当的变量代换后，也可以化为可分 离变量的方
4、程.第三节 一阶线性微分方程上述通过把齐次线性方程通解中的任意常数C变易 为待定函数C(x)，然后求出非齐次线性方程通解的这种 方法，称为常数变易法.下面我们来分析非齐次线性方程（1）的通解结构.这是一阶非齐次线性方程.方法一 常数变易法第四节 一阶微分方程的应用举例学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重 介绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程 解决实际问题的一般步骤.利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步 骤如下：(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相 应的微分方程及确定初始条件；(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求 出其通解；(3)利用初始条件，
5、定出通解中的任意常数，求得满 足初始条件的特解；(4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来 解释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果. 以上四个步骤中列方程、解方程是重点.P(x,y)QOyx图11-4图 11-5P=mgR=kv作业：习题11-4 1，2，4第五节 可降阶的二阶微分方程第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 一、二阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构二阶齐次线性微分方程（2）的解，具有下面的性质 :第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 二阶常系数非齐次线性微分方程的性质和通 解结构 第八章 二阶微分方程的应用举例 图 11-6ssOB图117yTMAH Oxxx(t)O图11-8重点 可分离变量的方程及一阶线性微分方程的解 法，二阶常系数线性微分方程的解法等. 本章基本要求理解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件和 特解等基本概念；掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的 解法；了解二阶常系数线性微分方程的通解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
