向量组的极大线性无关组

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1、2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 一一. . 定义定义 如果向量组如果向量组 1 1, , 2 2, , , , s s的部分组的部分组 满足以下条件满足以下条件: : , , , , i i1 1 , , i i2 2i ir r线性无关线性无关; ; , , , , i i1 1(1) (1) , , i i2 2i ir r(2) (2) 1 1, , 2 2, , , , s s中任一向量都可由中任一向量都可由线性表示线性表示, , , , , , i i1

2、1 , , i i2 2i ir r极大线性无关组极大线性无关组( (maximal linearly independent subsetmaximal linearly independent subset) ). .为为 1 1, , 2 2, , , , s s的一个的一个 , , , , i i1 1则称则称 , , i i2 2i ir r2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 二二. . 有关结论有关结论 定理定理2.52.5. . 秩为秩为r r的的向量组向量组 1 1, , 2 2, , , , s s一定有由一定有

3、由 r r个个向量构成的极大无关组向量构成的极大无关组. . 命题命题2.12.1. . 秩为秩为r r的的向量组中向量组中任何任何r r个线性个线性无无关的关的 向量都构成它的一个极大无关组向量都构成它的一个极大无关组. . 2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 定理定理2.62.6. . 一个一个向量组向量组的任何两个的任何两个极大无关组极大无关组 都是等价的都是等价的, , 因而因而任意两个任意两个极大无关极大无关 组所含向量的组所含向量的个个数都相同数都相同, , 且等于这且等于这 个向量组的秩个向量组的秩. . 命题命题2

4、.22.2. . 一个一个向量组与它向量组与它的任何一个的任何一个极大无极大无 关组都是等价的关组都是等价的. . 2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 三三. . 计算计算 理论依据理论依据: : (1) (1) 命题命题2.12.1(2) (2) 定理定理1.11 1.11 ( (初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩). ). 例例2. 2.8 8. . 已知向量组已知向量组 1 1, , 2 2, , 3 3线性无关线性无关, , 求求 1 1 2 2, , 2 2 3 3, , 3 3 1 1的一个极大无关组的一个极

5、大无关组. . 2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 列向量组相关计算问题列向量组相关计算问题1. 1.求向量组的秩：求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，初等行变换化为行阶梯形， 行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行（列）向量组的秩。（列）向量组的秩。2. 2. 判断向量组的线性关系：判断向量组的线性关系：初等行变换化为行初等行变换化为行 阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量

6、组 线性无关。线性无关。初等行变换不改变列向量组之间的线性关系 。2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 3. 3.求向量组的一个极大线性无关组：求向量组的一个极大线性无关组：初等行变初等行变 换化为行阶梯形，原矩阵中与行阶梯形非零行换化为行阶梯形，原矩阵中与行阶梯形非零行非零首元所在的列相同位置的几个列向量一定非零首元所在的列相同位置的几个列向量一定4. 4. 用极大无关组线性表示其余向量：用极大无关组线性表示其余向量：初等行变初等行变 换化为行最简形，依换化为行最简形，依3 3方法找到一组极大无关方法找到一组极大无关 组，在行最简

7、形中将非零首元不在列分别由非组，在行最简形中将非零首元不在列分别由非为一个极大线性无关组。个数和秩相同。为一个极大线性无关组。个数和秩相同。零首元所在列线性表示，再将表达式转换到原零首元所在列线性表示，再将表达式转换到原 向量组中即可。向量组中即可。2.4 2.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组 第二章第二章 n n维列向量维列向量 例例2. 2.9 9设设A A = = 3 2 0 5 03 2 0 5 0 3 3 2 3 6 2 3 6 1 1 2 0 1 5 2 0 1 5 3 3 1 6 1 6 4 4 1 41 4, , 求求A A的列向量组的列向量组 的一个极大无关组

8、的一个极大无关组. . 1 1 6 6 4 4 1 1 4 4 0 0 4 4 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0解解: : A A = =3 2 0 5 03 2 0 5 0 3 3 2 3 6 2 3 6 1 1 2 0 1 5 2 0 1 5 3 3 1 6 1 6 4 4 1 41 4初等初等 行行变换变换可见可见A A的第的第1, 2, 41, 2, 4列构成列构成A A的列向量组的一的列向量组的一 个极大无关组个极大无关组. .例2.10 已知参数a, b互异，求向量组的极大无关组解：由于三个2维向量一定线性相关，故三个向量线性相关。又因为a, b互异，故从而 线性无关。因此这个向量组的秩为2，且 是所要求的极大无关组。