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1、下页返回上页极限存在准则 两个重要极限第五节 连续复利下页返回上页一、夹逼准则二、单调有界收敛准则四、小结 思考题三、连续复利下页返回上页一、夹逼准则证下页返回上页上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限下页返回上页注意:准则 I和准则 I称为夹逼准则.下页返回上页例1解由夹逼定理得下页返回上页作为准则 的应用，下面证明一个重要的极限下页返回上页下页返回上页例2解下页返回上页单调增加单调减少单调数列几何解释:二、单调有界准则下页返回上页例3证(舍去)下页返回上页定义作为准则的应用，可以证明一个重要的极限下页返回上页类似地,下页返回上页下页返回上页例4解例5解下页返回上页例6解
2、下页返回上页三、连续复利在市场经济的环境中，金融业迅速发展,经 济活动引发了一系列的贷款问题，贷款自然会 带来利息问题。最简单的利息是单利：如果你曾经在银行 办理过定期存款，那么你不难理解单利，假设 三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元， 那么三年后你取出来，利息是3.5%*3=10.5元 。利息跟本金将一并支付给你。（这里讨论均 不考虑利息税） 下页返回上页稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式 ：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计 算利息的方式，假设国债利率是3.5%，那么你买 了100元国债，每经过一年，便支付3.5元的利息， 到最后一年一并支付最后一次利息和本金。 乍
3、看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以 发现，后者的收益比前者高。因为后者的利息是 按年支付的，当先收得利息之后，立刻就可以把 利息拿来再次投资。投资之后仍然会产生利息。 于是加起来，总收益比前者要高。 下页返回上页这样就产生了复利的计算方法，（我国民 间叫“利滚利”），比如按10年放出6%利息的 贷款，按年计算复利，那么对于每一元前，第 一年末得到1+0.06，第二年末得到 (1+0.06) (1+0.06),第三年末总共得到(1+0.06) (1+0.06) (1+0.06),按这个公式计算，可以看到按6%这个利 息率，按年收复利的话，十年前的1元钱会变 成10年后的1.79元。 下页返回
4、上页复利的概念下页返回上页下页返回上页复利的神奇魔力 有A、B兩个人都是25岁，都做了一年 1,000元的投资，假设回报率是18%。一年后 ，A拿投资所赚到的利息180元去买了喜欢的 东西；而B则选择将这180元利息加入到1,000 元的本金里继续投资，这样B总共投资了1,180 元。如果A继续把每年的利息花掉，而B则继 续拿利息再投资，回报率仍在18%，那么以 下就是他们未来的金钱图表 下页返回上页第n年底A和B的年龄龄A拥拥有的金額B拥拥有的金額4291,0002,0008331,0004,00012371,0008,00016411,00016,00020451,00032,000244
5、91,00064,0028531,000128,00032571,000256,00036611,000512,00040651,0001,024,000下页返回上页复利是从“小钱”开始起，这是成大事者常用的 手段。而有一些人一心想发财，結果大钱小钱都赚 不到。所以一开始就把眼光放远，用复利来再投资 ，那么你的钱就会像雪球一样越滚越大了。1996年被美国财富杂志评定为美国第二大 富豪的巴菲特，他也是“以小钱”起家的典型。他11 岁就开始投资了第一张股票，把他和姐姐的一点小 钱都投入股市，开始陪钱，但他经历几十年坚持不 懈才迎來了今天的辉煌。纵观一些富人的成功之路 ，他們都是从小事做起，从小钱赚
6、起，积少成多， 积少成大，就如同复利再投资一样，时间久了，小 钱也会变成大钱的。下页返回上页四、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则; 单调有界准则 .下页返回上页思考题有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个 月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对 小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共 有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月 增长率.下页返回上页解 若用“”、“”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数 量图： 去年12月 1 今年 1 月 1 2 月 2 3 月 3
7、4 月 55 月 86 月 13从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总 数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此下页返回上页规律可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对.按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波 那契(Fibonacci)数列, 其通项为且此数列有递推关系：下页返回上页第n月的兔子对数的增长率 存在的证明及求法如下：证下页返回上页用数学归纳法容易证明： 数列是单调增加的；数列是单调 减少的. 又, 对一切成立. 即数列 、是有界的. 根据“单调有界数列必有极限”的准则可知数 列 和 的极限存在, 分别记作b*和b* , 即 下页返回上页两式相减，得下页返回上页解上方程，得 ，因为 故即从而故许多年后兔子的总对数均以每月61.8%的速率 增长.下页返回上页思考题求极限下页返回上页思考题解答下页返回上页一、填空题:练 习 题下页返回上页二、求下列各极限:下页返回上页下页返回上页练习题答案
