条件概率与独立性

《条件概率与独立性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《条件概率与独立性（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、* *袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二个人取得红球的概率是多少？1.1. 条件概率与事件独立性条件概率与事件独立性* *若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在A条件下B发生的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？* *一、条件概率例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第一次取到红球的概率（3）求

2、两次均取到红球的概率设A第一次取到红球,B第二次取到红球* *显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 一般地，设A、B是中的两个事件，则 * *条件概率的性质(1) 非负性: P(B|A) 0；(2) 规范性: P(|A)1； (3) 可列可加性：设B1，B2，, 是一列两两互不相 容的事件，即BiBj，(ij), i , j1, 2, , 有P( B1 B2 )|A P(B1 |A ) P(B2 |A)+. * *例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白 两色，分 类如下表。

3、从盒中随机取出一球，若取得 的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球.B-从盒中随机取到一只新球. * *二、乘法公式设A、B ，P（A）0,则P(AB)P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。乘法公式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).* *例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一 只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球 颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2 次取得白球、第3

4、、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，则* *P21.例1.22* *定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为 样本空间的一个完备事件组（分割），若满足：A1A2 AnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式* *定理 设A1，, An是的一个分割，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有 称为全概率公式。* *例4 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品 率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从 出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品 的概率。解：*

5、*若该厂规定，出了次品要追究有关流水线 的经济责任。现在出厂产品中任取一件， 结果为次品，但该件产品是哪一条流水线 生产的标志已经脱落，问四条流水线各应 承担多大责任？ 例5 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品 率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。* *定理 设A1，, An是的一个分割，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B，有 称为贝叶斯公式。* *例5 四条流水线各应承担多大责任问题求解 * *例6 某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法，数 据显示，患者用此法被查出的概率为0.9

6、5，非患者用 此法被误诊的概率为0.1.假如人群中肝癌的患病率为 0.0005，现在若有一人被此法诊断为患有早期肝癌， 求此人确实患有早期肝癌的概率?* *作业：p66-67 17、18、19、211.条件概率全概率公式贝叶斯公式公式复习公式复习乘法定理说明1. 全概率公式的主要用处在于它可以将一 个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事 件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最 终结果.说明2. 贝叶斯公式计算的是后验概率，利用观 测或实验的结果来修正之前的认识。例 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打 破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下 打破的概率为7/10

7、, 若前两次落下未打破, 第三次 落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打 破的概率.解以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.* *例 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0 的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在 发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和 “不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接 收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端 发的是0的概率是多少?解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A

8、(P)AB(P + 0.0670 1 不清0 (0.55)(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(0.1)* *袋中有a只白球，b只黑球，有放回的每次从袋中取一球，问第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率是多少？第二次取得白球的概率是多少？四四 、事件的独立性、事件的独立性* *（一）两事件独立定义 设A、B是两事件，若P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.说明: 两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与

9、两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没 有必然联系则由此可见两事件互斥但不独立.则* *（二）多个事件的独立（二）多个事件的独立定义 若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),(2)P(AC)=P(A)P(C), (3)P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。三个事件相互独立三个事件两两相互独立* *一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2

10、)P(A ik) 则 称n个事件A1，A2，An相互独立。n 个事件相互独立n个事件两两相互独立* *定理 设A、B是两事件相互独立，P(A) 0, 则P(B)P(B|A) * *定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。* *1.若n个事件A1，A2，An相互独立，则其中任意k 个事件也相互独立。两个结论：2.若n个事件A1，A2，An相互独立，则其中任意k 个事件也相互独立，则将A1，A2，An中任意多个 事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍然独立 。* *（三）事件独立性的应用（三）事件独立性的应用例

11、 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞 机的概率是多少?射击问题例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机 被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击 中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞 机必定被击落, 求飞机被击落的概率.* * *伯恩斯坦反例例 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?* *例

12、 在可靠性理论上的应用:如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的 概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通 路的概率。* *设A=R-L至R为通路,Ai=第i个继电器通 ,i=1,2,5由全概率公式* *五、 贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否， 将此试验独立地重复进行n次，则称此模型 为n重贝努利概型。求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。* * * * *定理：事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，在n次Bernoulli试验中事件A恰好发生k次 的概率记作：B(k;n,p)。则* *例9 某物业公司负责小区内的40家住户的各 种维修业务，已知一周内向物业公司保修的概 率为0.1，求一周内至少有三家住户保修的概 率为多少。可以认为小区住户向是否物业公司保修是相互独 立的，可看作n=40，p=0.1的Bernoulli模型，所求的 概率为：* *例10 事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，连续试验，直到事件A发生r次试验才停止 ，问事件A第r次发生在第n次试验的概率？解：P(事件A第r次发生在第n次试验) * *作业：p67 26