工程随机数学(2011-1)

《工程随机数学(2011-1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程随机数学(2011-1)（108页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、工程随机数学赵正予2011.9课程内容课程内容一、概率论 Ch 1 Ch 5二、数理统计 Ch 6 Ch 9三、随机过程 Ch 10 Ch 14课程内容介绍课程内容介绍 概率论是整个随机理论的基础，首先研究随机现象最基本的规律性，其次给出刻画随机变量的方法，进而研究随机变量的取值规律性，包括在某些假设下进一步研究随机变量的各种规律性。对于多个或有限个随机变量，还要研究变量之间在随机取值规律性的依赖关系。 数理统计以概率论为基础，通过观测试验数据，根据建筑在概率论基础上原理对随机数据进行推断或预测，包括如何有效地收集、整理和分析数据，如何应用这些数据进行统计推断和预测估计。概率论是数理统计学基础

2、，数理统计学是概率论的应用课程内容介绍课程内容介绍课程内容介绍课程内容介绍 随机过程可称为概率论的动力学部分，它把有限或无限多个随机变量与参数T联系在一起，突出了随机性和过程性。作为随时间变化的随机变量，随机过程广泛存在于社会科学、自然科学、管理科学的各个领域中，有着重要的应用前景。本课程与后续课程的关系现代数字信号处理随机信号分析信息论误差分析方法 通信原理无线电波传播。 应用 信号谱估计、高阶矩谱分析、双谱分析等 无线电波在随机介质中的传播 日地空间物理 雷达信号处理 无线通信理论 随机信号处理 信号与信息的统计建模 误差分析、可靠性估计 时间序列分析。本门课程ABC 起源于赌博博弈 16

3、世纪意大利学者卡丹诺开始研究掷骰子等赌博问题 17世纪中叶，法国数学家B. 帕斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯基于排列组合方法，研究了较复杂的赌博问题合理分配赌金问题 论赌博中的数学（1657）、概率论的分析理论（1812）、统计学数学方法（1946） 奠基人：瑞士数学家J.伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等 20世纪30年代，苏联人科尔莫格洛夫创建概率的公理化体系，正式作为一个数学分支名人名言法国数学家Laplace：“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯：“ 概率论是生活真正的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行, 无所作

4、为.”Ch1、随机事件与概率1 随机事件及其运算内容：引入概率论的基本概念：随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、事件的关系及运算一、随机现象1确定性现象：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，并且在一定条件下，它必然发生或不发生，遵从严格的因果关系。2不确定性现象 ：包括：随机现象、模糊数学、浑沌数学一、随机现象（1）随机现象： 随机性：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，但条件与事件的发生之间没有决定性的因果关系；统计规律性：指在大量同类随机现象中所呈现的一种具有集体性质的必然规律统计规律；客观性：其发生的可能性大小却是可以用数量关系精确地描述，是客观存在的。 一、随机现象 基本定

5、义：在个别实验中呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象就成为随机现象。一、随机现象（2）模糊现象： 事物概念没有明确的外延、模糊不清，从而造成事物分类归属上的不确定性模糊性。 二、随机试验对某事物特征进行观察, 统称试验 ： 可重复性试验在相同条件下可重复进行，它是随机现象具有统计规律性的客观依据。随机性进行一次试验前不可能事先确定哪个结果会发生，否则就无意义了。完备性尽管事先不能明确试验结果（或各次试验的结果不尽相同），但能事先明确试验的所有可能结果。具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为E。 二、随机试验注意： 随机试验是相对于确定性试验而言，指一个试验可以在相同条

6、件下重复进行，且每次试验结果不能事先确定； 并非指“试验的结果都具有同等发生的可能性”，仅指都有可能发生，但有的发生的机率大，有的小，这个几率就是概率；有的具有等可能性，如掷硬币，有的不具有，如射击中靶的环数； 若E是由一系列试验依次各做一次所组成，则称为复合试验。三、随机事件随机事件表示：在随机试验中，对一次试验可能发生或不发生、但在大量重复试验中具有某种规律性的事情 随机事件。随机事件常用A、B、c等表示 随机事件又可分为：基本事件、复合事件、绝对型事件。三、随机事件 基本事件：不能再分或不必再分的随机事件。 复合事件：由多个基本事件组成的事件。 绝对型事件：为了描述绝对型现象（确定性现象

7、）而引入：必然事件（S ）、不可能事件（ ） 三、随机事件基本事件的三个重要特征：（1）等可能性：在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相等；（2）互不相容性：在一次试验中，只可能发生基本事件中的一个，即任意2个基本事件不会同时在在一次试验中发生；（3）完备性：在一次试验中，所有基本事件中必有一个会发生。四、样本空间在一次试验中所有基本事件的集合称为该随机试验的样本空间，记为。故基本事件又称为样本点，记为，即是全体样本点的集合，也即是随机试验所有可能结果的集合。四、样本空间 袋中摸球：E为判断颜色1=黑，2=白，则 1 =1，2可列、可数、有限样本空间 打靶：E为判断中靶否击中=“+”，脱靶=

8、“” 则 2 =+，-+，- -+，- - - +不可列、无限 交换台在10分钟内收到的呼唤次数：E为判断次数，3 =0，1，2，3，可列、离散四、样本空间注意：（1） 由E决定，不同的E有不同的。关键在于基本事件的选择（2）可以概括各种实际内容大不相同的问题，如 1 =1，2胜负、正反等（3）可以是可数集，亦可谓不可数集这对随机过程、极限定理等问题的讨论很重要！归纳随机现象 随机试验 包含许多可能结果（随机事件） 基本事件的集合（样本空间） 五、事件之间的关系与运算目的：通过研究事件之间的关系与运算，把某些复杂事件表示为若干简单事件的积、差、和，达到化繁为简，从而可利用简单事件的概率求解复杂

9、事件的概率。（一）事件之间的关系（二）事件的运算设：E随机试验，样本空间，A，B，Ak随机事件（k=1，2，3）五、事件之间的关系与运算（一）事件之间的关系基本关系 ：等价、包含、互斥、互逆 （1）包含 若A的发生必然导致B发生，即A是B的子集，或A包含于B中。对任意事件有：（2）等价若A发生B必然发生，反之，若B发生A必然发生，A = BSAB五、事件之间的关系与运算（3）和（并）A与B中至少有一个发生，记： 三种情况：或A发生；或B发生；或A，B都发生。即C包含了属于A和B的全体样本点。当B A时，AB=B，由此类推：SAB五、事件之间的关系与运算和事件可推广N个事件的和事件，N可有限或可

10、列无穷多个有限可加性可列可加性如：“故障不超过十次”（B）=“0次”（A1） “1次”（A2） “10次”（A11）这11个事件之和。 五、事件之间的关系与运算（4）积（交）A与B同时发生记为：C=AB，或 C = ABC只包含了既属于A，又属于B的那些样本点。有限可积性 可列可积性 SAB显然，当BA时，AB=A，由此类推：对对任意事件总总有：五、事件之间的关系与运算（5）互斥（互不相容）若A与B不可能同时发生，则称A，B互斥（互不相容）记为： AB = （积事件）三种情况：A发生但B不发生；B发生但A不发生；A，B都不发生。A BS五、事件之间的关系与运算 注意： “等价”同发或同不发；“

11、积”同发，“互斥” 不同发 基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）与不可能事件互斥 两事件互斥时，AB可写为A+B 互斥并不意味着A，B互不相干，实际上是有关的。即相互独立互斥。AB = ，指其中一个发，另一个必不发； 若一组事件中，A1，A2，A3Ak中任意两个互斥， 则称这组事件两两互斥五、事件之间的关系与运算（6）互逆（对立）若，S=AB，且AB = ，则A，B对立（互逆），并称 A 是B的逆事件，记 ，反之亦然。条件1：A，B构成一个完备事件组条件2：A，B互斥对立只适于描述两个事件之间的关系，互斥只是对立的必要条件，而非充分条件 AS五、事件之间的关系与运算互斥与对立的区别 1）

12、两事件对立必互斥，但互斥不一定对立2）相互独立互逆3）互逆只适于两个事件，互斥则可多个事件4）“A B都发生”与 “A，B都不发生”并非对立事件，相反，“A B都发生”与“A，B不都发生”是对立事件。 5）对任意事件，有五、事件之间的关系与运算（7）差若A发生但B不发生，记为C=A-B由于B不发生，其对立事件一定发生，所以：A-B=A BSAB如A=直径合格，B=长度合格，则 C=直径合格，但长度不合格=A-B五、事件之间的关系与运算若 A1、A2 ，.An 两两互斥，且则称， A1、A2 ，.An 为的一个划分（8） 完备事件组五、事件之间的关系与运算（二）事件的运算1交换律：2结合律：3分

13、配律： 4重迭律：5互逆律：五、事件之间的关系与运算6吸收律：A=， A=A；A=A， A= 7差化积：8吸收律： ：和之逆=逆之积至少发生一个的对立事件为都不发生：积之逆=逆之和都发生的对立事件为不都发生五、事件之间的关系与运算例1：计算：（A-AB）+B=？：AAB=AB，（AB）+B=A+B和（差）的运算时不能通过去括号、移项来处理的。五、事件之间的关系与运算例2：证明： 解： A+B包括：A发B不发，B发A不发，A，B都发由分配律：但不能由此得出： 因为和（差）不能去括号处理2 随机事件的概率及其运算简单定义：刻画事件发生可能性大小的数量指标，称作为随机事件的概率 P。P 应具有客观性

14、、可度量性一、古典概型（等可能概型）二、几何概型三、概率的统计定义2 随机事件的概率及其运算一、古典概型（等可能概型） （一）模型与计算公式（一）模型与计算公式 试验的可能结果有限，即样本空间所含样本点（基本事件）有限，且这有限个事件两两互不相容有限性各基本事件发生的可能性相同，即机会均等等可能性一、古典概型（等可能概型）设有一随机试验E发生，其基本事件总数有限，记为n，且等可能性发生。设事件A包含了k个基本事件（k n），则定义事件A发生的概率为一、古典概型（等可能概型） 用古典概型计算概率要注意：弄清E（判断有限性和等可能性）根据试验目的，构建样本空间（求出基本事件总数n）考察所关心的事件

15、A（求出A所包含的基本事件个数k）利用定义式计算（求P（A）关键：基本事件数目的计算做到不遗漏、不重复常用方法：乘法定理（串联）、加法定理（并联），排列与组合（注意区分有序或无序排列，重复与不重复排列、有放回和无放回抽样）。一、古典概型（等可能概型）例如：（1）2个人入座3个座位：一个人不能同时座2个座位，一个座位也不能同时座2个人，故问题属于不重复排列问题，其座法为（2）2封信投入3个信箱：虽然一封信不能同时投入2个信箱，但1个信箱可同时容纳多封信，故属于可重复排列问题，其投法为32。 注意区分底数n和指数m。 一、古典概型（等可能概型）例1:设甲类设备有8套，乙类设备有6套，一次雷击毁坏了3套，问这3套是同一类设备的概率解：E：毁坏了3套设备 则14套中3套被毁的基本事件数为：A = 毁坏的为同类设备毁坏的均为甲类的基本事件数： 均为乙类的基本事件数： 所以： 一、古典概型（等可能概型）例2：摸球问题袋中有a个黑球，b个白球，无放回依次抽，摸k次，求第k