测量误差的基本理论

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1、凌 晴 兰州理工大学土木学院 工程测量工程测量前面几章讲述的数据采集，要用到各种仪器(经纬仪、水准仪、测距仪），要由人进 行操作，要在某种环境中工作，这些因素都 会使采集到的数据不准确，即数据中有误差 。 例如：1）、距离测量误差2）、角度测量误差3）、高差测量误差ABD往D返理论上： D往= D返实测中： D往 D返1）距离测量误差测量上一般要求测量上一般要求: : D D往往- - D D返返/D=1/K/D=1/K ( (K=2000,4000K=2000,4000,), ,), 测量成果才合格测量成果才合格. .ABC理论上：A+B+C=180 实测中：A+B+C180理论上：L1+L

2、2+L3+L4 =360 实测中： L1+L2+L3+L4 360L2L3L4ABCDL12）角度测量误差理论上： hAB+hBA = 0实测中： hAB+hBA 0 P1P4P3P2h1Ah3h23）高差测量误差Bh4理论上：h1+h2+h3+h4 =0实测中：h1+h2+h3+h4 0一、测量误差的概念 人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误 差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映 出来，称为测量误差。 二、测量误差及其来源1.真值和真误差真值：反映一个量真正大小绝对准确的数值真误差：观测值与真值之差，即：真误差=观测值-真值约定符号：X真值 L观测值 真误差 二、测量误差

3、及其来源1.真值和真误差2.测量误差的反映（如何发现）测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。3.测量误差产生的来源（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。二、观测与观测值的分类 1 1同精度观测和不同精度观测同精度观测和不同精度观测 在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、 设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具 有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度有大致相同技术水平的人所进行的观测

4、称为同精度 观测，其观测值称为观测，其观测值称为同精度观测值同精度观测值或等或等精度观测值精度观测值 。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同 （不等）精度观测值（不等）精度观测值。 2 2直接观测和间接观测直接观测和间接观测 为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是 所求未知量本身，称为所求未知量本身，称为直接观测直接观测，观测值称为，观测值称为直接观直接观 测值。测值。通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知 量的观测称为量的观测称为间接观测间接观测，

5、观测值称为，观测值称为间接观测值。间接观测值。二、观测与观测值的分类3独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为非独立观测值。 四、测量误差的分类按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测 量误差分为粗差、系统误差和偶然误差。 1、粗差定义：由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错措施：（1）加强观测者的责任心，培养细致的业务作风。（2）闭合差检验，剔除孤值。（3）近代平差中的抗差估计、粗差探测等。注意：在本门课程中，要求粗差消灭在平差前，今 后我们一般认为，

6、待平差的观测值无粗差！ 四、测量误差的分类 2、系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中， 数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误 差，称为系统误差。例： 误差 处理方法钢尺尺长误差ld 计算改正钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)四、测量误差的分类 3、偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单 个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小 和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为 偶然误差，又称为随机误差。例：估读数、气

7、泡居中判断、瞄准、对中等误差 ，导致观测值产生误差。偶然误差是不可避免的。WWWWWWWWWWWWWW例例 ：测量上测量上817817个三角形闭合差统计个三角形闭合差统计五、偶然误差的特性及其概率密度函数本例中三角形闭合 差所具有的这三条特性 在测量中具有普遍性。这些闭合差数值上不会超出一定界限；绝对值小的比绝对值大的闭合差个数要多；绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。误差的 区间 （） 为负 为正总数个数 ni个数 ni0.000.50 0.501.00 1.001.50 1.502.00 2.002.50 2.503.00 3.003.50 3.50 121 90 78 51 39 15

8、9 0123 104 75 55 27 20 10 0244 194 153 106 66 35 19 0和403414817817个三角形闭合差统计表五、偶然误差的特性及其概率密度函数1）界限性：一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定的限值，或者说超出一定限值的偶然误差出现的概率 为零。偶然误差的四个特性：2）聚中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 3）对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于 零，即五、偶然误差的特性及其概率密度函数 用频率直方图表示的偶然误差统计：误差的

9、区间 （） 为负 为正 总数频率 = ni /n个数 ni频率 = ni /n个数 ni频率 = ni /n0.000.50 0.501.001.001.50 1.502.00 2.002.50 2.503.00 3.003.50 3.50 121 9078 51 39 15 9 00.15 0.110.10 0.06 0.05 0.02 0.01 0.00123 10475 55 27 20 10 00.15 0.130.09 0.07 0.03 0.02 0.01 0.00244 194153 106 66 35 19 00.30 0.240.19 0.13 0.08 0.04 0.02

10、0.00和4030.504140.508171.00误差的 区间 （） 为负 为正 总数个数 ni频率个数 ni频率 0.000.50 0.501.00 1.001.50 1.502.00 2.002.50 2.503.00 3.003.50 3.50 121 90 78 51 39 15 9 00.15 0.11 0.10 0.06 0.05 0.02 0.01 0.000.30 0.22 0.20 0.12 0.10 0.04 0.02 0.00123 104 75 55 27 20 10 00.15 0.13 0.09 0.07 0.03 0.02 0.01 0.000.30 0.26

11、0.18 0.14 0.06 0.04 0.02 0.00244 194 153 106 66 35 19 0和4030.504140.50817误差的 区间 （） 为负 为正0.000.50 0.501.00 1.001.50 1.502.00 2.002.50 2.503.00 3.003.50 3.50 0.30 0.22 0.20 0.12 0.10 0.04 0.02 0.000.30 0.26 0.18 0.14 0.06 0.04 0.02 0.00和-4-3-2-1012340.10.2五、偶然误差的特性及其概率密度函数 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率

12、ni/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对 称于y轴。 各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律。用频率直方图表示的偶然误差统计：-4-3-2-1012340.10.2五、偶然误差的特性及其概率密度函数 当观测次数n无限增多 (n)、误差区间d 无限缩小(d 0)时，各矩形的顶边就连成 一条光滑的曲线,这条 曲线称为“正态分布曲 线”，又称为“高斯误 差分布曲线”。 所以偶然误差具有正态分正态分 布的特性布的特性。-4-3-2-1012340.10.2正态分布：正态分布的密度函数：数学期望和方差：五、偶然误差的特性及其概率密度函

13、数正态分布的数字特征数学期望： 位置特征。方差： 离散特征，表示曲线的形状。小，曲线顶点愈高，曲线陡峭，高瘦；大，曲线顶点愈低，曲线扁平，矮胖。今后，我们将正态分布作为研究偶然误差的数学工具。五、偶然误差的特性及其概率密度函数 偶然误差处理方式 精密度表示同一量各观测值之间的密集或离散的 程度。准确度又称偏差，是指观测值的数学期望与其真 值之差。它表征了观测结果系统误差大小的程度。精确度表示观测值与其真值的接近程度。测量中的精度严格意义讲是指精密度，由于假定 了观测值仅有偶然误差，观测值数学期望与真值 相同，所以精度也是精确度。二、中误差某观测值真值X已知； 设在相同观测条件下，对任一个 未知

14、量进行了n次观测，其观测值分别为 、 、 ，n个观测值的真误差 、 、 。为了避免正负误差相抵消和 明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以一组独立 的偶然真误差平方中数的平方根作为评定该组每一个观测 值精度的标准，即m称为中误差，m小精度高；m大精度低。n观测值个数真误差例:设有甲、乙两个小组，对三角形的内角和进行了9次观 测，分别求得其真误差为： 甲组： 乙组： 试比较这两组观测值的中误差。二、中误差说明乙组的观测精度比甲组高。三、极限误差1、定义2、极限误差的表示方法一定测量条件下，偶然误差的最大允许值2、极限误差的表示方法绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的概率为 0.27%绝对值大

15、于2倍中误差的偶然误差出现的概率为 4.55%三、极限误差问题：谁的精度高 ？四、相对误差(相对中误差)定义:说明：误差值与相应观测结果之比。误差值与相应观测结果之比。 一个量的中误差与相应观测 值之比相对中误差。1. 1. 相对误差是个无名数，一相对误差是个无名数，一 般将其分子化成般将其分子化成1 1，写成，写成 1/1/N N 的形式的形式 2. 相对误差一般用于长度测量3. 3. 真误差、中误差、极限误差真误差、中误差、极限误差 称为绝对误差称为绝对误差四、相对误差(相对中误差)平面三角形中，闭合差 是真误差，采用中误差公式，计算闭合差的中误差，即如何计算测角中误差m？一、误差传播定律QuestionQuestion：? ?一、误差传播定律QuestionQuestion：在三角形ABC中，已测得两个角A、B及一条边 ，则依 可计算b边。 已知上述三个观测量的