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1、第四章 向量组的线性相关性1 向量组及其线性组合定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量p分量全为实数的向量称为实向量p分量全为复数的向量称为复向量备注：一般只讨论实向量（特别说明的除外） 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) .只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量) .二、特殊的矩阵n
2、 维向量的运算1、向量相等（维数相同且对应元素相等）向量加法和数乘运算统称为向量的线性运算2、向量相加（维数相同，对应元素相加）3、向量的数乘（数乘以向量的每一个分量）n 维向量的运算律定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量组当R(A) n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成 的向量组含有无穷多个同维数的向量定义：给定向量组 A：a1, a2, , am ， 对于任何一组实数k1, k2, , km ，表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个
3、线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示线性方程组 Ax = b 有解例：设那么线性组合的系数e1, e2, e3的线性组合一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量回顾：线性方程组的表达式1.一般形式3. 向量方程的形式2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式方程组有解？向量 是否能用 线性表示？结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵
4、一一对应向量b 能由 向量组 A线性表示线性方程组 Ax = b 有解结论：定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价 设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即线性表示的 系数矩阵设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即n对于 b1
5、，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am若 Cmn = Aml Bln ，即则结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵若 Cmn = Aml Bln ，即则结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线
6、性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C = AB ，那么p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）p矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使 AP1 P2 , Pl = B存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 A
7、P = B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀：左行右列.把 P 看成 是 线性表示的 系数矩阵向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B)R(B) R(A)推论：向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)证明：向量组 A 和 B 等价向量组 B 能由向量组 A 线性表示向量组 A 能由向量组 B
8、 线性表示从而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因为 R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)例：设证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A) = n 分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A) = R(A, E) R(A) = n （注意到：R(A, E) = n 一定成立）小结向量 b 能由 向量组 A线性表示线性方程组 Ax = b 有解向量组 B 能 由向量组 A线性表示矩阵方程组 AX = B 有解向量组 A 与 向量组 B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理
